(En raison d'un over-booking flagrant de l'auteur de ce blog, la note d'aujourd'hui sera courte)

Tout commença quand Grüm, après sa chasse aux sangliers quotidienne, rapporta à la grotte le repas de la journée, appellé grüûm, qu'il sépara en deux tas. D'un côté, le tas gruûm ("Ce que l'on mangera ce soir"), et de l'autre, le tas grüum ("Ce que l'on garde pour le lendemain").
C'est en remaquant que grüûm = gruûm "union" grüum qu'est né la théorie naïve des ensembles : le pan des mathématiques qui s'intéresse aux unions, intersection, inclusions et tout ce qui parle de regroupement d'objets que l'on appelle "ensemble".

Des ensembles, on peut en faire de ce qu'on veut. On a commencé par les ensemble comptant un nombre fini d'objet, comme des ensembles de fleurs (suivant leur taille, on appelle ça "bouquet" ou "jardin"). On en est vite arrivés à parlé d'ensemble comptant un nombre infini d'objet, comme des ensembles de nombres (l'ensemble des nombres pairs, l'ensemble des nombres premiers...). On peut même définir des ensembles dont les éléments sont des ensembles (des ensembles d'ensembles) !

Des concepts plutôt simples à appréhender... Il faut être naïf pour croire que tout est si simple ! (En même temps, une théorie qui s'appelle "théorie naïve des ensembles", on aurait pu s'en douter)

 

Le paradoxe de Russel (En fait, découvert avant par Zermelo, mais il n'a pas jugé utile de le publier)
Au début du siècle dernier (1903), Bertrand Russel découvre le paradoxe qui a contribué à bouleverser la vision de la théorie des ensembles telle qu'elle était appréhendée à l'époque. Existe t'il un ensemble contenant tous les ensembles du monde ? Un tel ensemble devrait se contenir lui-même...
Classons donc en deux catégorie tous nos ensembles : d'un côté, les normaux, qui ne se contiennent pas eux-même (S), et de l'autre, les narcissiques, qui se contiennent eux-même (T), ce qui formera deux ensembles. Posons :
S = l'ensemble des ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes.
T = l'ensemble des ensembles qui se contiennent eux-mêmes

Pour n'importe quel ensemble donné, il appartiendra soit à S, soit à T (Et jamais dans les deux en même temps). Où placer l'ensemble S ? Si on le met dans S, S se contiendra lui-même, et donc, il s'en suivra que S appartient à T. Mais on ne peut pas le placer dans T, puisque s'il est dans T, il ne se contiendra plus lui-même... On ne s'en sort pas !

Dans le formalise actuel, on dira que si y = {x | x ∉ x}, alors y ∈ y ⇔ y ∉ y, ce qui n'est pas viable !

Pour résoudre finalement le paradoxe, Russel proposer la théorie des types, qui consiste à ne considérer que les ensembles ne peuvent pas contenir des objets aussi important qu'eux (selon une hiérarchie) : un cartable peut contenir des sacs contenant des billes, mais jamais un autre cartable. Ainsi, on ne pourra plus considérer d'ensemble qui se contiennent eux-mêmes.
Une alternative pour se débarasser de paradoxe incommode est celle de Zermelo (1908) est la restriction du principe de compréhension : on ne fabrique pas d'ensembles à partir de rien (comme c'est le cas dans l'énoncé du paradoxe de Russel), mais seulement en piochant dans un ensemble déjà existant.

Le paradoxe du barbier
Inventé par Russel himself, le paradoxe du barbier est un célèbre exemple de paradoxe auto-référenciel (le plus connu des paradoxes auto-référenciel tient en deux mots : je mens) permettant d'illustrer son paradoxe.

Dans un petit village, un amendement oblige à ce que tous les hommes soient rasés, que tous ceux qui ne peuvent se raser eux-même soient rasés par le barbier, et seulement ceux-là. Seulement, le barbier n'a à présent que deux choix :
- S'il se rase lui-même, il peut se raser seul, et donc, ne doit pas être rasé par le barbier.
- S'il ne se rase pas (en prétextant qu'il ne peut se raser seul), il devra quand même se raser...

Finalement, le barbier n'a aucune chance de s'en sortir, et sera condamné à payer chaque jour une amende.

Quelques mois plus tard, le conseil d'administration de la ville a décidé de remplacer le barbier, parti en dépression, par une femme. Le paradoxe de Russel était résolu dans la ville...
Jusqu'à ce que ce même conceil municipal oblige, dans le cadre de la lutte contre le narcissisme littéraire,  au bibliothécaire de réaliser le catalogue de tous les livres qui ne se citent pas eux-mêmes...


Sources :
Wikipédia : le paradoxe de Russell
Liste des barbiers qui ne se rasent pas eux-mêmes