Le 25 janvier, Dr Curtis Cooper, par l'intermédiaire du projet GIMPS, a découvert M48, le 48e nombre premier de Mersenne. Ce nombre, 257 885 161-1, est donc officiellement aujourd'hui le plus grand nombre premier connu ! Le précédent record (M47, qui possède 12 978 189 chiffres) datait de 2008.

2578851611

Comme tout a déjà été dit sur ce blog à propos des nombres premiers, revenons plutôt aux bases de la base. 

Ca veut dire quoi, 257 885 161-1 ?
C'est le nombre qui vaut 2×2×...×2-1 (où l'on peut compter 57 885 161 fois le nombre 2). Il s'écrit avec 17 425 170 chiffres, ce qui est plutôt long : si on l'imprimait sur des feuilles A4, cela serait profondément stupide (imprimer autant de pages coûterait au bas mot 500€ en encre, sans compter le prix de l'imprimante et du papier).

Qu'est ce qu'un nombre premier ?
La plupart des nombres peuvent s'écrire sous la forme d'une multiplication : 4=2×2, 6=2×3, 8=2×4, 9=3×3, 42=6×7... Mais d'autres, non : ce sont les nombres premiers, comme 2, 3, 5, 7, 11 ou 13, qui n'apparaissent dans aucune table de multiplication (sauf dans la table de 1, mais c'est trop facile). Par exemple, les nombres pairs ne sont pas premiers, puisqu'ils sont dans la table de 2 (sauf 2).
(J'aurais aussi pu dire qu'un nombre premier est un nombre dont les seuls diviseurs sont 1 et lui-même...)

Qu'est ce qu'un nombre de Mersenne ?
Un nombre de Mersenne, c'est un nombre que l'on peut écrire 2p-1, noté Mp :

M1 = 21-1 = 1
M2 = 22-1 = 3
M3 = 23-1 = 7
M4 = 24-1 = 15
M5 = 25-1 = 31

Parmi les nombres de Mersenne, certains sont premiers, d'autres non :

M7 = 27-1 = 127 (premier)
M8 = 28-1 = 255 (non premier)
M9 = 29-1 = 511 (non premier)
M10 = 210-1 = 1023 (non premier)
M11 = 211-1 = 2047 (non premier)
...
M57 885 161 = 257 885 161-1 = 58...plein de chiffres…51 (premier)

On ne sait pas combien de nombres de Mersenne sont premiers, on en connaît seulement 48 (que l'on a logiquement numérotés de M1 à M48). On sait que si Mp est premier, alors p est premier (ce qui simplifie donc grandement les recherches), mais la réciproque n'est pas vraie. 

C'est qui, ce Mersenne ?
Un moine sarthois du XVIIe siècle. D'autres questions ?

M48 est-il le plus grand nombre premier ?
NON ! (Contrairement aux titres que l'on peut lire , , , , ...)
Il existe une infinité de nombres premiers (la preuve) ! Ce n'est pas le plus grand nombre premier qui a été découvert, c'est simplement que le record du plus grand nombre premier connu a été battu. Il y a des nombres premiers encore plus grands, mais ils se cachent.

C'est si difficile que ça de savoir si un nombre est premier ?
En général, oui.
Prenons le nombre 91, par exemple : il n'est divisible ni par 2 (il ne finit pas par 0, 2, 4, 6 ou 8), ni par 5 (il ne finit pas par 0 ou 5), ni par 3. A vue de nez, ce nombre a l'air d'être un nombre premier. Mais pour en être sûr, il faut vérifier qu'il est divisible par aucun nombre. Après investigations, il s'avère que 91 est dans la table de 7 : ce n'est pas un nombre premier. 

Du coup, pour savoir si un nombre est premier ou pas, il faut vérifier qu'il est divisible par aucun autre nombre. Pour un petit nombre, ça va, pour un nombre de 17 425 170 chiffres, c'est forcément un peu long.

Heureusement, les mathématiciens ont mis au point des méthodes pour accélérer les choses. Il existe des méthodes (très longues) pour savoir si n'importe quel nombre est premier. Il existe des méthodes (très rapides) pour savoir si un nombre est peut-être premier (mais se trompe parfois), et surtout, il existe une méthode (le test de Lucas-Lehmer - rapide) pour savoir si un nombre de Mersenne est premier. Le problème, c'est qu'il ne fonctionne que sur les nombres de Mersenne... 

Du coup, si on veut trouver de très grands nombres premiers, il faut se tourner vers les nombres de Mersenne, les seuls qui disposent d'un test de primalité abordable.

Il sort d'où, ce Cooper ?
Si Curtis Cooper a réussi à trouver ce nouveau nombre premier, c'est parce qu'il (et son équipe) est le plus gros contributeur du projet GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) : un petit programme que n'importe qui peut installer et qui cherche quels sont les (grand) nombres de Mersenne premier. A titre d'exemple, la découverte du 45e nombre de Mersenne a été faite par un ingénieur allemand passionné par les nombres premiers.

Moi aussi, je peux devenir milliardaire avec GIMPS ?
Bien sûr que oui ! Mais il faudra avoir beaucoup de chances et trouver plein de nombres premiers.

En quoi cette découverte est-elle géniale ?
En réalité, ça ne révolutionnera en rien le monde des mathématiques. L'algorithme utilisé est le même depuis plus de 100 ans et le programme utilisé est le même depuis 15 ans. Cela dit, il reste intéressant de constater que l'on continue de remplir le panier des nombres premiers titanesques.

A quoi ça sert de savoir ça ?
A rien. Mais si fallait arrêter de faire tout ce qui ne sert à rien, on ne ferait plus grand chose...
(Après, on peut toujours parler du fait que les nombres premiers sont à la base des transactions bancaires sur Internet (et ailleurs), et donc, que les recherches théoriques dans le domaine sont absolument nécessaires. Cela dit, même sans application concrète, la recherche mathématique restera toujours nécessaire)


Le site du projet Gimps, et le communiqué de presse annonçant la découverte. Vous pouvez lire la bête ici.