Deux (deux ?) minutes pour Mandelbrot
Un nouvel épisode un peu plus long "deux minutes pour", où il est question d'ensemble de Mandelbrot et d'ensemble de Julia !...
Transcription augmentée :
En 1975, Benoit Mandelbrot invente le mot fractale qui permet enfin de mettre un nom à tous les monstres nés des mathématiques durant les deux siècles qui ont précédés, des objets qui sont beaucoup trop irréguliers pour être analysés par la géométrie classique. Sous le terme fractale, on regroupe les objets auto-similaires, où l’image se retrouve à l’identique à toute échelle, comme le triangle de Sierpinski, l’éponge de Menger ou même le chou romanesco. On y trouve aussi des objets manquant cruellement de lisseté, comme le mouvement brownien, les fonctions de Weierstrass ou même les courbes de la Bourse.
Au milieu de toutes ces fractales, on y retrouve un roi incontesté : l’ensemble de Mandelbrot. Il s’agit d’une fractale dont la complexité semble infinie, mais qui est pourtant régie par une formule considérablement plus simple : z²+c.
Ca tombe bien, j’ai xued minutes pour en parler !
Avant de parler de ces fractales, il est nécessaire de parler dans les grandes lignes des nombres complexes. En temps normal, pour parler des nombres complexes, on dit qu’il existe un nombre i dont le carré est égal à -1, que c’est très bizarre parce que les nombres négatifs n’ont pas de racine carrée mais que, si on regarde bien, c’est certes bizarre, mais pas absurde pour un mathématicien. Plutôt que de partir sur ces considérations algébriques, je vais parler seulement de leur géométrie. En simplifiant, on peut dire qu’un nombre réel, c’est un nombre que l’on peut placer sur un axe, l’axe des nombres réels. Un nombre complexe, c’est comme un nombre réel, sauf qu’ils n’existent pas que sur un seul axe, mais sur deux : l’axe des réels et l’axe des imaginaires. Ainsi, un nombre complexe est un nombre composé de deux nombres réels : sa partie réelle et sa partie imaginaire. On pourra les noter sous la forme a + ib, où a désigne la partie réelle, et b désigne la partie imaginaire.
Mais les nombres complexes restent avant tout des nombres : on peut, entre autres, les additionner,les multiplier ou les mettre au carré.
Additionner deux nombres complexes, c’est plutôt facile, puisqu’il suffit d’ajouter d’un côté les parties réelles, et de l’autre côté les parties imaginaires. Graphiquement, ajouter un nombre complexe à un autre nombre se traduira par une translation. Par exemple, ajouter 1 à un nombre complexe correspond à un déplacement d’un cran vers la droite. Rajouter 3+2i, ça sera un déplacement de 3 unités vers la droite et de deux unités vers le haut.
Pour la multiplication de deux complexes, c’est un peu plus tordu, puisqu’on a besoin de leur norme et de leur argument. D’un côté, il y a l’argument des nombres complexes : l’argument, c’est l’angle formé entre le nombre et l’axe des réels. Pour multiplier deux nombres complexes, on commencera par additionner leur argument.
De l’autre côté, il y a la norme, qui correspond à la distance entre le nombre complexe et l’origine du repère. Quand on multiplie deux nombre complexes, on mutlipliera ces deux normes.
Finalement, pour multiplier deux complexes, il faut ajouter les arguments et multiplier les modules.
Du coup, et c’est ça qui nous intéressera, pour multiplier un nombre complexe par lui même, il faudra doubler son argument, puis mettre au carré sa norme.
Maintenant que l’on a défini ces deux opérations, on peut regarder ce qu’il se passe quand on applique à un nombre complexe z une fonction. Prenons par exemple l’application z² - ¾ et partons par exemple du nombre 1+i. On va donc commencer par élever ce nombre au carré, c’est à dire, que son argument, qui vaut 45°, est doublé, et que son module, qui vaut √2, est mis au carré. On tombe alors sur le nombre d’argument 90° et de module 2, c’est à dire le nombre complexe 0+2i. Il ne reste plus qu’à ajouter -¾, et on tombe donc sur le nombre -¾ + 2i.
Mais cette opération, on peut la répéter à partir du point obtenu : on double l’argument, on met le module au carré, et on ajoute -¾. On tombe alors sur -4.2 - 3i. On peut répéter l’opération encore et encore et encore. On comprend bien qu’en répétant ces opérations, on obtiendra des nombres qui s’éloigneront de plus en plus de l’origine du repère.
Faisons un deuxième essai, en partant cette fois-ci du nombre 1+0.5i. On double l’argument, on met le module au carré, on ajoute - 3/4 , on obtient 0+i. On répète l’opération, on obtient -1.75, puis 2.31, puis 4.6, et ainsi de suite. Encore une fois, on finit par obtenir des nombres de plus en plus grands.
On dira alors que les nombres 1+i et 1+0.5i génèrent des suites non bornées.
Mais ce n’est pas toujours le cas. Prenons comme point de départ le nombre 1 + 0.2 i. On applique une première fois l’application z² - ¾ : on double l’argument, on met le module au carré, puis on ajoute -¾. On obtient alors 0.21 + 0.4 i. En recommençant, on obtient -0.87 + 0.17 i. On recommence encore. Et encore. Et encore. Et encore. Cette suite ne se comporte pas du tout de la même façon que dans les deux exemples précédents, puisque cette fois-ci les points ne s’éloignent jamais vraiment de l’origine du repère. On dira alors que la suite est bornée.
En fait, les points du plan complexe se divisent en deux catégories : ceux qui génèrent une suite non bornée, et ceux qui génère une suite bornée. Du coup, on peut s’amuser à mettre en noir les points qui génèrent une suite bornée, et en couleur les autres. En procédant ainsi pour un grand nombre de points, on obtiendra en première approximation quelque chose comme ça …
Mais en procédant à des calculs un peu plus précis, on obtient plutôt un résultat comme celui-ci.
Et si on s’applique à varier les couleurs en fonction du temps que met la suite à diverger, on obtient plutôt quelque chose comme ça.
Cette figure, c’est ce que l’on appelle un ensemble de Julia. Dans le cas précédent, il s’agit de l’ensemble de Julia de la fonction z² - ¾ . Il donne une assez bonne idée de ce qui apparait assez naturellement dans le domaine de la dynamique complexe. Cet ensemble est une fractale, caractérisée par une certaine autosimilarité : quelle que soit la distance depuis laquelle on l’observe, elle présentera toujours la même forme globale. Et je rappelle que tout ça n’est obtenu qu’à partir de l’anodine formule z²- ¾ !
Evidemment, la première chose que l’on a envie de faire, c’est évidemment de changer de formule pour voir ce que cela donne. En particulier, on peut voir ce que cela donnera si, au lieu de -¾, on prend un autre nombre complexe.
Par exemple, avec la formule z²-0.39-0.59i. En appliquant la même procédure que précédemment, on obtient ceci.
L'ensemble de Julia de l'application z²-0.39-0.59i.
(La fractale présentée dans la vidéo est une version simplifiée de celle-ci, dont la représentation est un peu trop gourmande en ressource pour être animée)
La figure est un peu plus complexe, mais garde toujours son statut de fractale, puisqu’elle est identique quelle que soit l’échelle choisie.
En prenant plutôt la formule z²-0.12+0.75i, on tombe sur une autre fractale de Julia, connue sous le nom de lapin de Douady, à cause de son immanquable ressemblance avec un herbivore aux grandes oreilles.
On peut obtenir des fractales un peu différentes en prenant l’application z²-i. On obtient alors ce que l’on appelle une fractale dendrite, qui rappelle les prolongements des neurones.
Enfin, on a un résultat un peu différent en prenant par exemple z² + 0.1 + 0.65 i puisque, cette fois-ci, la fractale que l’on obtient n’est pas composée de un seul morceau.
D’ailleurs, on peut trier les fractales de Julia de formule z²+c selon deux catégories : celles qui sont connexes, c’est à dire, qui ne forment qu’un seul morceau, d’un seul tenant, et les autres.
On peut maintenant faire comme comme tout à l’heure, et colorer en noir les points c pour lesquels la fractale de Julia de formule z²+c est connexe (c’est à dire, d’un seul morceau) et en couleur les autres. On obtient alors ceci.
On peut voir ça comme une carte des fractales de Julia, où chaque point correspond à un ensemble de Julia.
Cet ensemble porte le nom d’ensemble de Mandelbrot, et est, pour bien des raisons, la fractale la plus importante des mathématiques.
Cette carte des fractales est elle-même une fractale, puisqu’elle présente encore une fois de l’autosimilarité. Même si cela ne saute pas aux yeux au premier abord, l’ensemble de Mandelbrot présente des copies de lui même un peu partout. Par exemple, ici, ou bien, ici.
Mais ce qui fait le succès de cette fractale, c’est sa structure en bourgeons et en antennes. Déjà, il y a le bulbe central, en forme de cardioïde. Sur cette cardïoide se greffent différents bourgeons, de taille variable, sur lesquels se grefferont d’autres bourgeons, et ce, jusqu’à à l’infini. Mais ce qui est vraiment génial, c’est qu’à chaque bourgeon correspond une certaine multiplicité. On dira par exemple que ce bulbe est de multiplicité 3, celui-ci de multiplicité 4 et celui-là de multiplicité 5. Je ne vais pas détailler le sens profond et mathématique de ces multiplicités, mais simplement montrer une chose : si un bulbe est d’une certaine multiplicité, alors on y trouvera attaché des antennes de la même multiplicité. Par exemple, les antennes autour du bulbe de multiplicité 3 formeront des motifs en forme de Y. Autour de celui de multiplicité 4, les antennes formeront des motifs en X, et autour de celui de multiplicité 5, les antennes forment des étoiles.
Les multiplicités se retrouvent aussi dans les fractales de Julia qui leur correspondent. Si une fractale de Julia provient d’un bulbe de multiplicité 3, alors, elle ne présentera à sa frontière que des points de multiplicité 3, ce qui signifie que l’autosimilarité se présente toujours dans les ensemble de Julia de ce bulbe par paquet de 3.
Si je prend maintenant une fractale de Julia dans un bulbe de multiplicité 4, ça sera par paquet de 4 que se regrouperont ces formes
Et puisqu’il existe des bulbes pour n’importe quelle multiplicité, on peut facilement retrouver des bouquets de Julia de multiplicité 5, 6, 7 ou bien pire !
Ensemble de Julia dont le paramètre c provient d'un bulbe de multiplicité 17.
En fait, on peut définir plus simplement l’ensemble de Mandelbrot, sans faire appel aux ensembles de Julia. L’ensemble de Mandelbrot, c’est un fait l’ensemble des points complexes c tels que l’itération de la fonction z²+c ne diverge pas lorsque l’on part de 0.
Autrement dit, l’ensemble de Mandelbrot n’est construit qu’à partir de la simple formule z² + c et c’est cette formule qui, à elle seule, produit un objet d’une complexité extraordinaire dont les mathématiciens n’ont pas encore percé tous les secrets.
On peut retrouver sur internet des logiciels permettant d’explorer l’ensemble de Mandelbrot. Par exemple, le logiciel Xaos, que j’ai utilisé pour faire cette vidéo, permet d’explorer très simplement les ensembles de Mandelbrot et de Julia. Qui sait ce que vous y trouverez ?...
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