La conjecture des vendeurs d'oranges

Et si je parlais un peu de la conjecture de Kepler, question posé en 1611 par Kepler, résolu en 1998 par T. Hales et conjecturé depuis bien longtemps par les vendeurs d'oranges...

La question peut se résumer à-peu-près à ceci : pourquoi les vendeurs d'oranges présentent leur orange comme ça :

et pas comme ça ? :

(Je parle de la manière dont les oranges sont placées les unes par rapport aux autres, pas de leur couleur)

Et la réponse peut se résumer à quelque chose comme ça : parce que l'empilement pyramidal est l'empilement qui prend le moins de place possible, le plus dense (Bien que la définition de dense soit un chouïa plus complexe).

Et ça, les vendeurs d'oranges l'ont bien compris depuis moultes années, et personne jusqu'à Kepler en 1611 ne s'était alors posé la question "est-ce vraiment le meilleur des empilements". Après Kepler, les choses n'étaient plus pareilles : on avait la question, mais il manquait la réponse démontrée. Les épiciers continuaient pourtant, sans vraiment se poser la question, de présenter leurs oranges de manière pyramidale.
Puis vient un jour Hilbert, qui, en 1900, posa à nouveau la question (Et 19 autres,  tout aussi difficiles les unes que les autres). Et à nouveau, personne ne réussit à répondre de manière satisfaisante à la question.
Et en 1993, les choses prirent une autre tournure, puisqu'un chinois (Dont je n'ai pas trouvé le nom) dit, de toute l'éloquence dont il arrivait à faire preuve "J'ai démontré la conjecture de Kepler" (Enfin, il ne l'a pas dit en français, mais ça se résume comme ça). Jaloux, Thomas Hales répondu alors en américain "Bouh, elle est pas bonne ta démonstration, je suis sûr que je peux trouver mieux". Quelle connerie ne dit-il pas à ce moment là, puisqu'il passa les 5 années suivantes de sa vie à chercher (en fait, il venait déjà d'y passer 10 ans) sur la question. Et, en 1998, moyennant des gros ordinateurs, 100 000 équations mettant en jeu dans les 200 variables, avec quelques 2000 constantes, il arria et dit "J'ai démontré la conjecture de Kepler".
Le monde (enfin, surtout les mathématiciens qui le compose) applaudit. Le monde était en joie, et les vendeurs d'oranges sûrent alors qu'ils avaient raison depuis la nuit des temps de présenter leurs oranges ainsi.

La question, posée en 3 dimentions, peut également se poser en 2 dimentions, mais la réponse a tout de suite été trouvée, et forcément, c'est moins drôle à raconter. Il s'agit de l'assemblage hexagonal, qui ressemble à ceci :

(Quelle magnifique image réalisée avec paint !)

Au niveau remplissage du plan, ça donne 90,69%. Pour ce qui est du remplissage de l'espace par les oranges, c'est de l'ordre de 74,05% (Je ne pense pas que ces chiffres apportent quelque chose d'important à cet exposé, mais je m'en fiche).

La question peut également se poser en dimention 4, mais c'est pas évident de trouver des représentations d'hyperspheres dans l'hyperespace...

Les plus doués d'entre vous pourront, peut-être, après quelques années d'études nous parler du remplissage optimal de boulets dans une boîte de forme donnée, la question restant actuellement en suspend, tout comme celle de l'empilement optimal d'êtres humains en maillot de bain sur une plage...

---

Plus d'infos :
http://mathematiques.ac-bordeaux.fr/viemaths/conf_exp_etc/conf/empilement_sph%E8res.htm
http://www.dma.ens.fr/culturemath/maths/pdf/geometrie/empilement.pdf (PDF)

Comments

[zezette]

C'est toi M. Hunting ? Will Hunting ? ;)

[titefrog]

je ne voudrais pas tout casser mais je n'ai jamais vu d'oranges disposées comme ça^^ lool!! ;D

[El Jj]

Tipierre > Ce ne sont pas les seuls applications... Mais il ne faut pas oublier que les mathématiciens sont de grands enfants !

Mylou > Ah oui, détail intéressant pour les vendeurs de'oranges !

Abricot > C'est malheureusement pas valable comme démonstration... Dommage

Philippe > Je suis sûr que ça marche aussi pour l'oxyde de dihydrogène.

L'inspiratrice > Effectivement, c'était des clémentines à la base, mais toute la théorie repose sur l'empilement de spheres parfaites, et les oranges en sont plus proche.

[L'inspiratrice^^]

T'as oublié de préciser que c'était plus esthétique d'avoir une présentation pyramidale ( décidement les deux meme combat XD).
Sinon c'était des clémentines roh...^^

[Philippe]

Ce qui m'éclate c'est que quelqu'un a empilé des pommes :)

Plus sérieusement, il me semble qu'on retrouve cela au niveau moléculaire, pour une molécule appelée monoxyde de dihydrogène (H20, l'eau, quoi ;-)). L'eau liquide (rangée comme les oranges) prend moins de place que l'eau gelée (empilée en cubes).