Coïncidences et anniversaires

Un autre domaine très intéressant des mathématiques est celui des probabilités. C'est pas forcément la plus évidente (Ah, la théorie des probabilités...) mais c'est la plus ludique pour le grand public !

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Combien faut-il réunir d'individus dans une salle de classe (ou un terrain de foot, ou n'importe où, là n'est pas l'intérêt de la question) pour être certain que deux d'entre eux possèdent la même date de naissance ?
La réponse est presque évidente : il en faut 366. (Principe des corbeaux dans les tiroirs : s'il y a deux tiroirs et trois corbeaux, il y aura forcément un tiroir avec au moins deux corbeaux). Même si les 365 premières personnes ont un anniversaire différent, la 366e personne aura forcément une date d'anniversaire commune avec une personne déjà présente (Pour les bienfaits de la démonstration, on va oublier les années bissextiles et le fait que plus d'enfants naissent neuf mois après le premier de l'an que neuf mois après la Toussaint)

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Maintenant, passons à une question moins évidente : combien faut il réunir de personne pour avoir une chance sur deux que deux d'entre elles aient le même anniversaire ?...183 (366/2) ?... Pas si sûr...

Au lieu de nous intéresser à la probabilité que cet évènement se produise, on va plutôt s'intéresser à l'évènement inverse : quelle est la probabilité pour que n personnes n'aient pas d'anniversaire en commun ?

* Albert est seul dans une grande salle. Puisqu'il est tout seul, il y a 1 chance sur 1 pour qu'il n'ait pas son anniversaire en commun avec quelqu'un d'autre dans la salle (puisque, fatalement, il est tout seul dans la salle)

* Bertha entre dans la salle. Elle salue Albert puis lui demande son anniversaire. Fait étonnant, les deux n'ont pas la même date d'anniversaire. Enfin, pas si étonnant que ça, puisqu'il y avait 364 chances sur 365 (99,7%) que ça arrive comme ça.

* Christian arrive à son tour, salue Albert et Bertha puis demande les anniversaires. Puisque Albert et Bertha n'ont pas le même anniversaire, il a 2 chances sur 365 pour avoir son anniversaire en commun avec l'un d'eux. Et donc, 363 chances sur 365 pour qu'il n'ait pas son anniversaire en commun avec Albert ou Bertha.
Mais 363/365, c'est la probabilité pour que Christian n'ait pas son anniversaire en même temps que Albert ou Bertha, sachant que les deux premiers n'ont pas le même anniversaire non plus.
Puisque la probabilité pour que Albert et Bertha n'aient pas d'anniversaire en commun est de 364/365, celle pour que les 3 n'aient pas d'anniversaire commun est donc 364/365 × 363/365.

Résumage :
La probabilité que n personnes dans une même salle n'aient pas d'anniversaire en commun est donc de :
n=1 : 1 (100%)
n=2 : 364/365 (99,73%)
n=3 : 364/365 × 363/365 (99,18%)
n=4 : 364/365 × 363/365 × 362/365 (98,36%)
Et ainsi de suite, jusqu'à :
n=n : 364/365 × 363/365 × 362/365 ×... × (365-n+1)/365

Pour les matheux qui me liraient, ça donne une belle formule de récurrence :
(Avec P(1)=1)
Ou alors :   

La question initiale est donc à présent "Pour quel n on passe sous la barre des 50% ?"
Et bien, on va faire un joli graphique avec Gnumeric (Que vous pouvez télécharger gratuitement sur tout bon site de téléchargement) :

(En rose, la probabilité qu'il n'y ait pas d'anniversaire en commun, et en bleu, l'inverse)

Et là, qu'est ce qu'on voit ? Le résultat tombe et est étonnant : avec 23 personnes, on a 50% de chances que deux d'entre elles aient un anniversaire en commun (et à 57, on dépasse les 99% de chances)

Après, on peut s'amuser à adapter les calculs à d'autres problèmes : On a 61% de chances que parmi 5 personnes prises au hasard, deux ont le même signe astrologique (et pareil avec l'astrologie chinoise).

Bref, tout ça pour dire qu'il faut se méfier de ce qui peut sembler être une coïncidence, puisqu'on a généralement une très mauvaise représentation mentale des probabilités.
Par contre, ça peut être pratique pour gagner facilement des paris.... "Je te parie 100€ que dans les 40 personnes qu'il y a ici, il y en a au moins deux avec le même anniversaire !" (90% de chances de gagner ce pari... - Encore plus élevée si l'on sait qu'il y a des jumeaux !)

Comments

[liop]

concernant le probleme des chats : l'enoncé décrit l'un comme etant femelle auquelle vous dejoué les probabilité en permettant que ce soit l'autre. il n'y a qu'un seul l'un comme il n'y a qu'un seul autre puisque si l'un est femelle l'autre est obligatoirement l'autre:l'autre femelle ou l'autre male.

si l'on considere l'un comme l'un des des deux alors l'autre deviens egalement l'un des deux aussi ce qui nous donne selon votre propre logique quatre possibilité et non trois.

f1f2;f2f1;m2f1;f1m2 .

notez que cela nous ramenes a la coherence 1/2 voila justice logique est faite et le coton tige pas trop loin dans l'oreille svp!

[Whiteshoulders]

Alors pour les chats c'est bien 2/3 car il y a bien trois cas. Mais si j'avais dit : "j'ai 2 chat, un noir et un blanc, et le blanc est femelle. Quelle est la probabilité pour que l'autre chat (le noir) soit male ?" Et bien là juste 1/2 ! Dingue comme la couleur change pleins de choses !

Pour les boite je conaissait aussi ce probleme, et on a interet a changer de boite, car le pourcentage de chance est desormais de 66 %, meme si ce n'est absolument pas logique.

Il y a tellement de probleme sur les proba ! On peut tellement tourner en rond là dessus !

Par exemple:
"J'ai 3 commodes a 2 tirroirs. Dans l'une, il y a une piece rouge dans un tirroir et une piece rouge dans l'autre. Dans la 2eme une piece rouge dans un tirroir et une piece jaune dans l'autre. Et dans la derniere commode, une piece jaune et une piece jaune. J'ouvre un tirroir et je trouve une piece rouge. Quelle est la probabilité pour qu'en ouvrant le 2nd tirroir de la meme commode, je trouve egalement une piece rouge ?

Enfin bon tout cela est formidable, et soit dit en passant JJ, tu a un veritable talent de vulgarisateur mathematique, superbe blog, on sent que tu aime les maths (et en un sens je te comprend)

[Phoenixx]

"J'ai tenté de l'expliquer à ma mère après l'avoir vu dans numb3rs, mais j'ai jamais pu..."
--> Bon, ça va, je suis pas seul dans ce cas-là, même si j'ai pas connu ce problème dans numb3rs.

Et puis Jj, tu peux te permettre de faire une note consacrée à ce problème de boîtes, parce que je le trouve assez intéressant ... Et de toutes façons, je laisse pas de copyright à mes commentaires ^^

Pour les enveloppes, ce qui est intéressant dans le problème, c'est que les deux affirmations suivantes :
"Le montant gagné est deux fois plus grand que le montant perdu si l'on perd"
et
"Ces deux montants sont les mêmes"
sont vraies ... Enfin voilà, c'est pas un problème particulièrement intéressant, mais il reflète bien que la façon de présenter un problème peut en quelque sorte changer la conclusion ... Je vous laisse réfléchir à la portée philosophique de mes propos.

[El Jj]

t. > http://www.01net.com/telecharger/windows/Bureautique/tableur/fiches/31493.html

Les chats > Waw ! Ben je ne m'y referai plus prendre... De toutes mafçons, ma réponse était aussi bonne ! (Et que l'on ne me parle pas du genre neutre en français...)

Les 3 boites > Le fameux problème des trois boîtes ! J'ai tenté de l'expliquer à ma mère après l'avoir vu dans numb3rs, mais j'ai jamais pu... Phoenixx, brillante démonstration, j'aurai pas fait mieux (j'y aurais bien consacré une note, mais ça ne serait qu'un copié collé de ton commentaire...)

Les deux enveloppes > Ya un truc qui me gêne, c'est l'exemple n'est pas issu de la généralisation. Dans l'exemple, on pioche k (=10) €, et ou peut gagner le double +k (a) ou perdre la moitié -k/2 (b). Placée dans la généralisation, on a
* dans le cas (a) :
k=n, on y gagne +k=+n
* dans le cas (b) :
k=2n, on y gagne -k/2=-2n/2=-n
Cela reflète donc le fait que l'on perde ou gagne n €, mais ce n est variable suivant les cas
('Suis pas sûr d'avoir été clair dans mes propos...)

Tipierre > Tu veux l'avis du public ?
Histoire de rectifier, il faut 366 personnes (en ignorant les années bissextiles) puisque avec le bol que tu as, tu vas avoir une personne de chaque jour de l'année (Si c'est le cas, tu pourras surement jouer au loto)

[Tipierre]

Pour les chats je dirais 50%, pour les boites je dirais Picardi.. euh, 50%, et pour les enveloppes il n'y a rien à dire, mais 50%.
Pourtant les boites, ca se tient sur l'exemple des 100 boites... Mais quand même, ca fait bizarre à mon esprit...

Pour en revenir au probleme, c'est cocasse ! Pour etre quasi sur d'avoir deux personnes nées le même jour, il faut 57 personnes, et pour être totalement sur, il en faut 365 !