Coïncidences et anniversaires
Un autre domaine très intéressant des mathématiques est celui des probabilités. C'est pas forcément la plus évidente (Ah, la théorie des probabilités...) mais c'est la plus ludique pour le grand public !
Combien faut-il réunir d'individus dans une salle de classe (ou un terrain de foot, ou n'importe où, là n'est pas l'intérêt de la question) pour être certain que deux d'entre eux possèdent la même date de naissance ?
La réponse est presque évidente : il en faut 366. (Principe des corbeaux dans les tiroirs : s'il y a deux tiroirs et trois corbeaux, il y aura forcément un tiroir avec au moins deux corbeaux). Même si les 365 premières personnes ont un anniversaire différent, la 366e personne aura forcément une date d'anniversaire commune avec une personne déjà présente (Pour les bienfaits de la démonstration, on va oublier les années bissextiles et le fait que plus d'enfants naissent neuf mois après le premier de l'an que neuf mois après la Toussaint)
Maintenant, passons à une question moins évidente : combien faut il réunir de personne pour avoir une chance sur deux que deux d'entre elles aient le même anniversaire ?...183 (366/2) ?... Pas si sûr...
Au lieu de nous intéresser à la probabilité que cet évènement se produise, on va plutôt s'intéresser à l'évènement inverse : quelle est la probabilité pour que n personnes n'aient pas d'anniversaire en commun ?
* Albert est seul dans une grande salle. Puisqu'il est tout seul, il y a 1 chance sur 1 pour qu'il n'ait pas son anniversaire en commun avec quelqu'un d'autre dans la salle (puisque, fatalement, il est tout seul dans la salle)
* Bertha entre dans la salle. Elle salue Albert puis lui demande son anniversaire. Fait étonnant, les deux n'ont pas la même date d'anniversaire. Enfin, pas si étonnant que ça, puisqu'il y avait 364 chances sur 365 (99,7%) que ça arrive comme ça.
* Christian arrive à son tour, salue Albert et Bertha puis demande les anniversaires. Puisque Albert et Bertha n'ont pas le même anniversaire, il a 2 chances sur 365 pour avoir son anniversaire en commun avec l'un d'eux. Et donc, 363 chances sur 365 pour qu'il n'ait pas son anniversaire en commun avec Albert ou Bertha.
Mais 363/365, c'est la probabilité pour que Christian n'ait pas son anniversaire en même temps que Albert ou Bertha, sachant que les deux premiers n'ont pas le même anniversaire non plus.
Puisque la probabilité pour que Albert et Bertha n'aient pas d'anniversaire en commun est de 364/365, celle pour que les 3 n'aient pas d'anniversaire commun est donc 364/365 × 363/365.
Résumage :
La probabilité que n personnes dans une même salle n'aient pas d'anniversaire en commun est donc de :
n=1 : 1 (100%)
n=2 : 364/365 (99,73%)
n=3 : 364/365 × 363/365 (99,18%)
n=4 : 364/365 × 363/365 × 362/365 (98,36%)
Et ainsi de suite, jusqu'à :
n=n : 364/365 × 363/365 × 362/365 ×... × (365-n+1)/365
Pour les matheux qui me liraient, ça donne une belle formule de récurrence :
(Avec P(1)=1)
Ou alors : 
La question initiale est donc à présent "Pour quel n on passe sous la barre des 50% ?"
Et bien, on va faire un joli graphique avec Gnumeric (Que vous pouvez télécharger gratuitement sur tout bon site de téléchargement) :
(En rose, la probabilité qu'il n'y ait pas d'anniversaire en commun, et en bleu, l'inverse)
Et là, qu'est ce qu'on voit ? Le résultat tombe et est étonnant : avec 23 personnes, on a 50% de chances que deux d'entre elles aient un anniversaire en commun (et à 57, on dépasse les 99% de chances)
Après, on peut s'amuser à adapter les calculs à d'autres problèmes : On a 61% de chances que parmi 5 personnes prises au hasard, deux ont le même signe astrologique (et pareil avec l'astrologie chinoise).
Bref, tout ça pour dire qu'il faut se méfier de ce qui peut sembler être une coïncidence, puisqu'on a généralement une très mauvaise représentation mentale des probabilités.
Par contre, ça peut être pratique pour gagner facilement des paris.... "Je te parie 100€ que dans les 40 personnes qu'il y a ici, il y en a au moins deux avec le même anniversaire !" (90% de chances de gagner ce pari... - Encore plus élevée si l'on sait qu'il y a des jumeaux !)
Commentaires sur Coïncidences et anniversaires
- Vive les probabilité du moment que c'est pas rebarbatif, mais c'est pas tres inductif c'est sur. Tiens, un probleme ou tout le monde se fait avoir (jusqu'a mon prof de math de terminal)(qui etait tres bon)(mais qui avait d'horrible chemises)(mais nous nous eloignons du sujet).
J'ai deux chats, dont l'un est une femelle. Quelle est la probabilité pour que l'autre soit un mâle ? - il y a trois cas : FF,FM,MF. Ce qui fait deux chances sur trois pour que ça soit un mâle !
Dans le même ordre d'esprit :
il y a trois boîtes : une qui gagne, deux qui perdent. J'en choisis une. Quelqu'un (genre Dieu qui sait tout) me montre une boîte qui perd parmi celles que je n'ai pas choisies et me propose, si je le désire de refaire mon choix.
Que faire ? garder la première que j'ai choisi ou changer ? ou bien c'est égal ? - Tiens, j'avais déjà vu je ne sais plus où que la probabilité que 2 personnes aient le même anniversaire était assez haute pour un nombre restreint de personnes, mais ta démonstration est assez complète, donc merci pour nous ^^
Sinon, Mich'L, je connais déjà ton problème et je sais donc qu'il faut absolument changer de boîte, car la boîte restante a une probabilité de 2/3 d'être gagnante, alors que si on conserve notre premier choix, la probabilité de gagner n'est que de 1/3 (il y a que les idiots qui ne changent pas d'avis pas vrai ?
) Pour les sceptiques qui ne sont pas d'accord avec moi - et ayant moi-même essayé de convaincre pas mal de personnes par rapport à ce problème, je sais que vous êtes nombreux -, essayez de refaire le problème avec par exemple 100 boîtes : si Dieu nous dévoile que 98 boîtes sont perdantes, celle qui reste a une très haute probabilité d'être gagnante, parce que sinon, Dieu nous l'aurait dévoilée ... Enfin je vous laisse réfléchir là-dessus. Sinon, essayez d'imaginer les trois situations dans le cas où on choisit la boîte 1 : si elle est gagnante et qu'on change, pas de chance, on perd. Si la boîte 2 ou 3 est gagnante, Dieu montrera nécessairement l'autre et dans ce cas, changer son choix est la bonne solution. Ainsi, vous pouvez voir que j'ai raison !!
D'ailleurs, dans un autre genre, j'ai aussi un problème pour vous :
J'ai deux enveloppes. Je sais qu'il y en a une où il y a une certaine somme d'argent, et que dans la deuxième il y en a le double, mais je ne sais pas laquelle me donera le plus d'argent. Ainsi, si j'ouvre une enveloppe et que je vois 10 €, si je change mon choix, il y aura soit 20 €, et dans ce cas je gagne 10 €, soit il y aura seulement 5 €, et je perdrai 5 €. Il parait donc mieux de changer son choix, car on gagnera plus si l'on gagne que ce que l'on perdra si l'on perd (oulà, c'est pas très clair tout ça). En revanche, si l'on prend le problème différemment, on arrive à la conclusion que le montant gagné et le montant perdu sont les mêmes. Notons n la somme la plus faible. Si on gagne, on a choisi l'enveloppe contenant 2n, et donc on gagne n par rapport à si on avait choisi l'autre enveloppe. Si on perd, c'est qu'on a choisi l'enveloppe contenant n, et on y perd alors le montant n. Les sommes gagnées et perdues sont donc égales toutes les deux. Or, celà s'oppose avec ce que l'on a vu au début ... Je vous laisse essayer de vous dépêtrer de ce problème inextricable.
Pour cloturer ce commentaire vraiment très long, je vais faire une remarque pour le problème de Whiteshoulders. Je pense que Mich'L a bien raison, il y a deux chance sur 3 pour que l'autre soit une femelle ... Alors, quelle est la réponse ? - Pour les chats je dirais 50%, pour les boites je dirais Picardi.. euh, 50%, et pour les enveloppes il n'y a rien à dire, mais 50%.
Pourtant les boites, ca se tient sur l'exemple des 100 boites... Mais quand même, ca fait bizarre à mon esprit...
Pour en revenir au probleme, c'est cocasse ! Pour etre quasi sur d'avoir deux personnes nées le même jour, il faut 57 personnes, et pour être totalement sur, il en faut 365 ! - t. > http://www.01net.com/telecharger/windows/Bureautique/tableur/fiches/31493.html
Les chats > Waw ! Ben je ne m'y referai plus prendre... De toutes mafçons, ma réponse était aussi bonne ! (Et que l'on ne me parle pas du genre neutre en français...)
Les 3 boites > Le fameux problème des trois boîtes ! J'ai tenté de l'expliquer à ma mère après l'avoir vu dans numb3rs, mais j'ai jamais pu... Phoenixx, brillante démonstration, j'aurai pas fait mieux (j'y aurais bien consacré une note, mais ça ne serait qu'un copié collé de ton commentaire...)
Les deux enveloppes > Ya un truc qui me gêne, c'est l'exemple n'est pas issu de la généralisation. Dans l'exemple, on pioche k (=10) €, et ou peut gagner le double +k (a) ou perdre la moitié -k/2 (b). Placée dans la généralisation, on a
* dans le cas (a) :
k=n, on y gagne +k=+n
* dans le cas (b) :
k=2n, on y gagne -k/2=-2n/2=-n
Cela reflète donc le fait que l'on perde ou gagne n €, mais ce n est variable suivant les cas
('Suis pas sûr d'avoir été clair dans mes propos...)
Tipierre > Tu veux l'avis du public ?
Histoire de rectifier, il faut 366 personnes (en ignorant les années bissextiles) puisque avec le bol que tu as, tu vas avoir une personne de chaque jour de l'année (Si c'est le cas, tu pourras surement jouer au loto) - "J'ai tenté de l'expliquer à ma mère après l'avoir vu dans numb3rs, mais j'ai jamais pu..."
--> Bon, ça va, je suis pas seul dans ce cas-là, même si j'ai pas connu ce problème dans numb3rs.
Et puis Jj, tu peux te permettre de faire une note consacrée à ce problème de boîtes, parce que je le trouve assez intéressant ... Et de toutes façons, je laisse pas de copyright à mes commentaires ^^
Pour les enveloppes, ce qui est intéressant dans le problème, c'est que les deux affirmations suivantes :
"Le montant gagné est deux fois plus grand que le montant perdu si l'on perd"
et
"Ces deux montants sont les mêmes"
sont vraies ... Enfin voilà, c'est pas un problème particulièrement intéressant, mais il reflète bien que la façon de présenter un problème peut en quelque sorte changer la conclusion ... Je vous laisse réfléchir à la portée philosophique de mes propos. - Alors pour les chats c'est bien 2/3 car il y a bien trois cas. Mais si j'avais dit : "j'ai 2 chat, un noir et un blanc, et le blanc est femelle. Quelle est la probabilité pour que l'autre chat (le noir) soit male ?" Et bien là juste 1/2 ! Dingue comme la couleur change pleins de choses !
Pour les boite je conaissait aussi ce probleme, et on a interet a changer de boite, car le pourcentage de chance est desormais de 66 %, meme si ce n'est absolument pas logique.
Il y a tellement de probleme sur les proba ! On peut tellement tourner en rond là dessus !
Par exemple:
"J'ai 3 commodes a 2 tirroirs. Dans l'une, il y a une piece rouge dans un tirroir et une piece rouge dans l'autre. Dans la 2eme une piece rouge dans un tirroir et une piece jaune dans l'autre. Et dans la derniere commode, une piece jaune et une piece jaune. J'ouvre un tirroir et je trouve une piece rouge. Quelle est la probabilité pour qu'en ouvrant le 2nd tirroir de la meme commode, je trouve egalement une piece rouge ?
Enfin bon tout cela est formidable, et soit dit en passant JJ, tu a un veritable talent de vulgarisateur mathematique, superbe blog, on sent que tu aime les maths (et en un sens je te comprend)
si l'on considere l'un comme l'un des des deux alors l'autre deviens egalement l'un des deux aussi ce qui nous donne selon votre propre logique quatre possibilité et non trois.
f1f2;f2f1;m2f1;f1m2 .
notez que cela nous ramenes a la coherence 1/2 voila justice logique est faite et le coton tige pas trop loin dans l'oreille svp!