Un autre domaine très intéressant des mathématiques est celui des probabilités. C'est pas forcément la plus évidente (Ah, la théorie des probabilités...) mais c'est la plus ludique pour le grand public !


 

Combien faut-il réunir d'individus dans une salle de classe (ou un terrain de foot, ou n'importe où, là n'est pas l'intérêt de la question) pour être certain que deux d'entre eux possèdent la même date de naissance ?
La réponse est presque évidente : il en faut 366. (Principe des corbeaux dans les tiroirs : s'il y a deux tiroirs et trois corbeaux, il y aura forcément un tiroir avec au moins deux corbeaux). Même si les 365 premières personnes ont un anniversaire différent, la 366e personne aura forcément une date d'anniversaire commune avec une personne déjà présente (Pour les bienfaits de la démonstration, on va oublier les années bissextiles et le fait que plus d'enfants naissent neuf mois après le premier de l'an que neuf mois après la Toussaint)


Maintenant, passons à une question moins évidente : combien faut il réunir de personne pour avoir une chance sur deux que deux d'entre elles aient le même anniversaire ?...183 (366/2) ?... Pas si sûr...

 

Au lieu de nous intéresser à la probabilité que cet évènement se produise, on va plutôt s'intéresser à l'évènement inverse : quelle est la probabilité pour que n personnes n'aient pas d'anniversaire en commun ?

 

* Albert est seul dans une grande salle. Puisqu'il est tout seul, il y a 1 chance sur 1 pour qu'il n'ait pas son anniversaire en commun avec quelqu'un d'autre dans la salle (puisque, fatalement, il est tout seul dans la salle)

 

* Bertha entre dans la salle. Elle salue Albert puis lui demande son anniversaire. Fait étonnant, les deux n'ont pas la même date d'anniversaire. Enfin, pas si étonnant que ça, puisqu'il y avait 364 chances sur 365 (99,7%) que ça arrive comme ça.

 

* Christian arrive à son tour, salue Albert et Bertha puis demande les anniversaires. Puisque Albert et Bertha n'ont pas le même anniversaire, il a 2 chances sur 365 pour avoir son anniversaire en commun avec l'un d'eux. Et donc, 363 chances sur 365 pour qu'il n'ait pas son anniversaire en commun avec Albert ou Bertha.
Mais 363/365, c'est la probabilité pour que Christian n'ait pas son anniversaire en même temps que Albert ou Bertha, sachant que les deux premiers n'ont pas le même anniversaire non plus.
Puisque la probabilité pour que Albert et Bertha n'aient pas d'anniversaire en commun est de 364/365, celle pour que les 3 n'aient pas d'anniversaire commun est donc 364/365 × 363/365.

 

Résumage :
La probabilité que n personnes dans une même salle n'aient pas d'anniversaire en commun est donc de :
n=1 : 1 (100%)
n=2 : 364/365 (99,73%)
n=3 : 364/365 × 363/365 (99,18%)
n=4 : 364/365 × 363/365 × 362/365 (98,36%)
Et ainsi de suite, jusqu'à :
n=n : 364/365 × 363/365 × 362/365 ×... × (365-n+1)/365

 

Pour les matheux qui me liraient, ça donne une belle formule de récurrence :
recurr (Avec P(1)=1)
Ou alors :   parecurr

 

La question initiale est donc à présent "Pour quel n on passe sous la barre des 50% ?"
Et bien, on va faire un joli graphique avec Gnumeric (Que vous pouvez télécharger gratuitement sur tout bon site de téléchargement) :

Grafik

 

(En rose, la probabilité qu'il n'y ait pas d'anniversaire en commun, et en bleu, l'inverse)

 

Et là, qu'est ce qu'on voit ? Le résultat tombe et est étonnant : avec 23 personnes, on a 50% de chances que deux d'entre elles aient un anniversaire en commun (et à 57, on dépasse les 99% de chances)

Après, on peut s'amuser à adapter les calculs à d'autres problèmes : On a 61% de chances que parmi 5 personnes prises au hasard, deux ont le même signe astrologique (et pareil avec l'astrologie chinoise).

Bref, tout ça pour dire qu'il faut se méfier de ce qui peut sembler être une coïncidence, puisqu'on a généralement une très mauvaise représentation mentale des probabilités.
Par contre, ça peut être pratique pour gagner facilement des paris.... "Je te parie 100€ que dans les 40 personnes qu'il y a ici, il y en a au moins deux avec le même anniversaire !" (90% de chances de gagner ce pari... - Encore plus élevée si l'on sait qu'il y a des jumeaux !)