La voiture, les moutons et l'animateur qui sait tout

Histoire de continuer dans les probabilités (Ah, la théorie des probabilités !), on va s'attaquer au fameux problème des trois boîte, à la demande de Phoenixx (et aussi, parce que je voulais le faire depuis un certain temps) (Et parce qu'il faut absolument que le monde sache).
Dans cet exemple comme très souvent, les lois de la probabilité dépassent celles de l'intuition.

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Le problème de la voiture et des moutons (aussi appelé le problème de Monty Hall (le Vincent Lagaf' américain)ou problème  des trois boites) se résume ainsi :
Vous êtes le héros d'un nouveau jeu télévisé vous proposant de gagner une superbe voiture. Pour cela, rien de plus simple. Vous avez le choix entre 3 boîtes. Dans l'une d'elle se cache la voiture, et dans les deux autres, ce sont... des moutons ! Évidemment, vous préférez gagner la voiture, et il va falloir tout faire pour ne pas gagner de moutons (vous n'avez pas la place dans votre appartement pour élever des moutons).
Vous choisissez donc une boîte. C'est alors que le présentateur, qui connaît à l'avance le contenu des boîtes, décide de vous montrer quelle boîte, parmi celles non choisies, contient un mouton.
Gentil comme il est, le présentateur vous propose, si vous le désirez, de changer de boîte.
La question est alors : Faut-il garder le choix initial, accepter la proposition du présentateur en prenant l'autre boîte ou bien, ça ne change absolument rien ?

Dans un raisonnement intuitif, on se dit que l'on a le choix entre 2 boîtes. Pour chaque boîte, la probabilité de contenir une voiture serait donc de 1/2, et que donc, cela ne changerait rien...
Ce n'est pas faux... seulement pour quelqu'un qui arriverait à ce moment là de l'émission. En effet, ce raisonnement intuitif n'intègre pas le fait que l'animateur a fait un choix en connaissant le contenu des boîtes.

En fait, il faut absolument changer de boîte ! Si vous gardez votre choix initial, vous avez une probabilité de 1/3 de gagner, alors que changer donne une probabilité de 2/3 !

Pourquoi ? Démonstration heuristique :

Retournons donc au début de l'émission, où nous avions le choix parmi trois boîtes :
{{A:voiture},{B:mouton},{C:mouton}}
Puisque l'on choisit totalement au hasard, la probabilité de choisir sur la voiture est de 1/3.
Imaginons que nous prenions effectivement la boîte A. L'animateur enlèvera par exemple la boîte C. Il reste donc la boîte A et la boîte B. Vous changez alors de boîte, et vous gagner malheureusement un mouton. Dommage...Mais (car il y a un mais) il n'y avait qu'une chance sur 3 pour que vous preniez la boîte A.
En fait, le cas le plus probable était que vous preniez la boîte B ou la boîte C (probabilité de 2/3). Après le choix de l'animateur, il vous reste deux boîtes : votre choix (B ou C) et la boîte contenant la voiture (A).
Vous changez alors de boîte, et vous prenez la boîte A !
Dans deux cas sur trois, changer de boîte après le choix de l'animateur amène bien à choisir la boîte qui contient la voiture !

On peut mieux s'en convaincre en réitérant le jeu avec 1 boîte à voiture, 99 boîtes à moutons, et un animateur qui élimine ra98 boîtes à moutons. Gagner la voiture n'en sera que plus facile !
Une chance sur 100 d'avoir la voiture au premier choix, ce qui amène à une chance sur 100 de récolter un mouton en changeant de boîte après le choix de l'animateur.
99 chances sur 100 d'avoir un mouton au premier choix, l'animateur éliminera alors forcément tous les autres moutons. Et donc, 99% de chances d'avoir la voiture !

Finalement, pour gagner à ce jeu, il est préférable de ne pas avoir de chance et de ne pas être borné... De toutes façon, seuls les imbéciles ne changent pas d'avis !

Comments

[RuBisCO]

J'ai vu l'article, je les aient même renvoyé sur ton blog pour des informations connexes.
C'est dommage, on peut pas faire de jolis arbres et de jolies équations en commentaire ! Ouiiin !

[El Jj]

Je crois que ce problème est l'exemple type du problème qui divise les gens ayant l'esprit cartésien de ceux qui croient aveuglément en leur première intuition... Pour le coup, on se fait battre par les pigeons ! (http://sciencetonnante.wordpress.com/2011/04/18/le-paradoxe-de-monty-hall-disponible-egalement-en-version-pigeon/)

[RuBisCO]

Bonsoir,
Le raisonnement de FAUX est malheureusement faux (je pense donc que le nom de l'auteur est prémonitoire). Tout viens du fait que chacune des issues n'a pas la même probabilité.

Voyons le problème en reprenant les données précédentes :
> le candidat choisit A (p=1/3)
- l'animateur élimine B (p=1/2)
- l'animateur élimine C (p=1/2)
> le candidat choisit B (p=1/3)
- l'animateur élimine C (p=1)
> le candidat choisit C (p=1/3)
- l'animateur élimine B (p=1)

Donc revoyons les issues proposées dans le précédent message :
1) p=1/3*1/2 = 1/6
2) p=1/3*1/2 = 1/6
3) p=1/3*1 = 1/3
4) p=1/3*1 = 1/3
Les deux premières sont perdantes, donc la probabilité de perdre en changeant est p(P)=2*1/6=1/3 et celle de gagner en changeant p(G)=2*1/3=2/3. ORBCQJjAD (on retrouve bien ce que Jj avait dit)

[FAUX]

Désolé de tous vous décevoir mais ce raisonnement à été récemment contredit et rendu inefficace par un jeune étudiant à Chaptal. En effet nous savons que l'animateur est conscient de l'emplacement de la boîte où se trouve la voiture et qu'il n'a pas le droit de la choisir par conséquent voici toutes les possibilités de choix:

A=boîte de la voiture et B et C les boîtes contenant les moutons:

1. Premier choix:A Boîte supprimé:B>changement =perte
2. Premier choix:A Boîte supprimé:C>changement=perte
3.Premier choix:B Boîte supprimé: C>changement=gain
4.Premier choix:C Boîte supprimé: B>changement= gain

DONC 1 chance sur deux et je mets au défi la moindre personne de trouver une possibilité où l'animateur ne supprime pas la boîte de la voiture.

Après le débat était de savoir si l'animateur choisis juste une boîte fausse et non pas la boîte C et la boîte B(donc deux choix de plus en somme) mais il a été immédiatement dit qu'il s'agissait de trois boîtes et donc de tous les choix possibles . Voilà, bonne soirée

[Mylou]

ahlala les probabiliés...y en a vraiment partout^^