La semaine dernière, nous avons ensemble appris que découper une tarte n'en ai pas vraiment une, surtout que personne n'a protesté quand j'ai proposé l'idée de découper une tarte aux litchis avec un compas.
Non, le grand talent du coupeur de tarte, c'est de manier le couteau avec un compas dans l'œil... Mais le vrai coupeur de tarte garde toujours en poche son amie trigonométrie...

Prenons une tarte quelconque (aux yuzus, par exemple), six invités affamés et un couteau.
Partager cette tarte en 6 avec un compas est un jeu d'enfant, mais peut-on vraiment garder un compas dans une cuisine... Je ne veux pas débattre de cette pertinente question maintenant, un autre jour peut-être. Toujours est-il que nous avons une tarte à couper en 6, et seulement un couteau pour réaliser ce prodige.
Puisque 6=3×2, l'idée principale est de commencer par couper la tarte en 2, et de couper chaque part en 3. Couper en 2, ce n'est pas la chose la plus compliquée qui soit, mais partager en 3 est bien moins évident.

Et c'est là que la trigonométrie fait son apparition remarquable : pour couper une tarte en 6, il faut faire des parts de 360°/6=60°. Et le cosinus de 60°, c'est précisément 0.5. Certes. Et alors ?

Et d'abord, c'est quoi le cosinus d'un angle ? Plutôt que des mots compliqués, un simple dessin résume l'affaire ; on prend un cercle de rayon 1, un angle α, et le cosinus de α sera alors la longueur du segment vert :

cosinus

On connait bien le cosinus de 60°, c'est 0,5.
Une fois le diamètre coupé, il y a juste à prendre le milieu du segment [OA], et de remonter perpendiculairement pour obtenir les points C et C'. Plus qu'à découper les parts le long de (CO) et (C'O), et c'est parti pour un délicieux moment de tarte aux yuzus en famille.

6parts

Bon, ça, c'est pour la tarte à 6 parts, mais si un invité n'aime pas les yuzus, comment faire pour la tarte à 5 parts ?
En partant du même principe, on a cos(72°) = 0.309 ( (√5-1)/4 , pour être précis), c'est à dire, un peu moins de un tiers. On cherche donc au couteau l'a peu près tiers de [OA], et on remonte pour trouver les points C et C'. On recommence la même chose en partant de [OC] pour trouver le point D, et la symétrie donne le point D'.


5parts

Et pour la découpe à 7 parts, il faut prendre le cosinus de 51,42°, qui vaut environ 0,62 (a peu près deux tiers, la valeur exacte demandant des racines carrées de nombres complexes).
En calculant les cosinus des différents angles à la calculette, on peut obtenir n'importe quelle découpe de tarte (enfin, avec un trop grand nombre de parts, on perd évidemment en précision, et les invités risquent de râler sur la non égalité de leur part...)


Interlude petite précision par rapport au dernier article
Et cette histoire de nombres premiers de Fermat, alors ? Pourquoi ceux-là sont constructibles, et pas les autres nombres premiers ?
Avec la magie de la trigonométrie, il suffit de calculer les cosinus des angles qui nous intéressent, et de les construire à la règle et au compas, comme j'ai pu en parler ici.

On a
cos(360°/3)=-1/2
cos(360°/5)=(√5-1)/4
cos(360°/17)=cos2pi17

(Je vous épargne la formule pour 257 et 65537)

En tout cas, ce sont des formules à base de racines de racines de racines, donc tout à fait constructibles à la règle et au compas.

Et pour les autres nombres premiers, ceux qui ne sont pas de la forme p=1+2^(2n) ? Il se trouve qu'il est impossible d'exprimer le cosinus de 360°/p avec seulement des racines carrées imbriquées ;
Dans le meilleur des cas, il faudra alors des racines cubiques (impossible à tracer à la règle et au compas), et dans le pire des cas, il sera impossible d'avoir une écriture à base de racines (Une histoire à base du théorème de Galois, mais là n'est pas la question)


Briller en société, partie 1
Mais revenons à notre tarte au yuzus à découper cette fois si en 9 parts égales.
9=3×3, ce n'est donc pas un nombre de parts constructibles à la règle et au compas, il va falloir trouver autre chose.
On peut partir sur cos(360°/69)=0,766 (grosso modo 3/4), et appliquer la technique décrite un peu plus haut. Mais la précision ne sera pas au rendez-vous.

Il existe heureusement LA technique qui fera son effet en société !
- Découpez d'abord la tarte en 8 parts (en prenant les moitiés des moitiés des moitiés)
- Découpez ensuite le cercle central au tiers du milieu.
Et voilà, vous obtenez 9 parts égales en surface ! (qui avait dit qu'il fallait des parts de même forme ?...)

9parts

Briller en société, partie 2
Revenons à notre découpe de tarte en 7 parts, avec la technique n°2 pour briller en société : ouvrez votre porte-monnaie, prenez discrètement une pièce de 20 centimes d'euros, et servez-vous en comme modèle d'heptagone régulier !

7parts


Sources :
Fortement inspiré de cet article de Luxtin