Di-ssé-quer !!

Les festivités sont passées, vous avez gagné quelques kilos, de futurs kilos présentées en boîtes chocolats, et tata Marceline, artiste, vous a offert un magnifique tableau post-moderne en forme de décagone.
Un décagone, c'est bien joli, mais comment l'encadrer, quand les seuls cadres que l'on trouve à Ikéa sont en forme de carrés ? Il va falloir découper le tableau à coup de cutter, déplacer les pièces de manière à les reformer en un beau carré facile à encadrer. Même découpé, ça reste de l'art post-moderne, il ne faut pas s'inquiéter !

(Quelques) découpages
Ce n'est pas du tout à cause d'un problème similaire que Harry Lindgren en est venu à s'intéresser aux découpages-recomposage de polygones, mais juste parce qu'il aimait faire des découpages. Son plus beau résultat, c'est celui qui transforme le décagone (10 côtés) en carré, le tout en seulement 8 pièces :

Mais le milieu du découpage est milieu difficile, comme dans le sport, on ne retient que les meilleurs. Et le meilleur dans la catégorie carré/décagone, c'est Gavin Theobald, qui a réalisé le découpage en 7 morceaux.

Nul ne sait si ce résultat est optimal... Si quelqu'un ici peut faire mieux, qu'il se fasse connaître au plus vite !

Le grand jeu des dissecteurs est de transformer n'importe quel polygone en n'importe quel autre, le tout avec un minimum de pièces. Une fois les pièces découpées, on peut les déplacer et faire des rotations, mais pas de déformations, ni de symétries.
Le bon côté des choses, c'est que c'est toujours possible (grâce au théorème de Wallace-Bolyai-Gerwein, voir plus bas), le mauvais côté, c'est qu'il n'y a aucun moyen de savoir si le découpage que l'on a fait est optimal, peut-être existe t'il un découpage avec moins de morceaux.
Si vous vous sentez l'âme d'un découpeur de l'extrême, voici les principaux records à battre :

Meilleures dissection du triangle équilatéral, carré, pentagone, hexagone, heptagone, octogone, ennéagone, décagone, dodécagone, croix grecque, pentagramme et hexagramme.
(Pour le moment)

Le découpage triangle équilatéral/carré est connu sous le nom de problème du mercier, dont voici la solution, en 4 pièces :

Ca, c'est un exemple presque simple, ça se complique quand on se penche sur le cas du découpage carré/ennéagone :

Ce n'est qu'un exemple parmi tous les résultats que l'on trouve sur le site de Gavin Theobald.

Le théorème de Lowry-Wallace-Bolyai-Gerwein

Si on découpe un polygone pour en reformer un autre, les deux polygones auront la même aire. Comme on dit dans le milieu fermé des mathématiciens, "c'est trivial". La réciproque est beaucoup moins évidente :
Si deux polygones ont la même aire, on peut découper le premier polygone de manière à reformer le deuxième.

Ce théorème, c'est le théorème de Bolyai (alias théorème de Bolyai-Gerwein, théorème de Wallace-Bolyai-Gerwein ou théorème de Lowry-Wallace-Bolyai-Gerwein... Jamais vu un théorème avec autant de noms...).

Voici en 7 étapes comment transformer n'importe quel polygone en n'importe quel autre (A noter qu'il s'agit d'une démonstration en bonne et dûe forme du théorème de LWBG)

(1) Découper le premier polygone en un paquet de triangles.

(2) Transformer chaque triangle en rectangle (prendre une hauteur incluse dans le triangle, et la parallèle au côté opposé passant par le milieu des deux autres côtés ; c'est plus clair avec un dessin)

(3) Transformer tous ces rectangles en rectangles ayant une longueur inférieure à 4 largeur (pour permettre l'étape suivante)

(4) Transformer chaque rectangle en carré.

(5) Fusionner progressivement deux à deux les carrés, pour obtenir au final un grand carré de même aire que le premier polygone.

(6) Faire la même chose avec le deuxième polygone, pour obtenir un deuxième carré.

(7) Superposer les découpages des deux carrés issus des polygones. Ce découpage permettre de passer du premier au deuxième polygone.

Le point positif de cet algorithme, c'est qu'il donne à coup sûr un découpage qui fonctionne. Son point négatif, c'est que le nombre de pièces à découper qu'il donnera sera très loin d'être minimal.
Ouf ! Le challenge est toujours là !

Et si les surfaces ne sont plus des polygones, mais des surfaces à bords curvilignes ?
Et si on se tourne du côté de la troisième dimension ? Peut-on transformer n'importe quel polyèdre en n'importe quel autre polyèdre de même volume ?
La réponse à toutes ces questions... la semaine prochaine ! (Ah, quel suspens !)

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Sources :
Les découpages artistiques - Pour la science n°257, mars 1999 (D'où proviennent les deux premières illustrations mal scannées)
Geometric Dissections, Gavin Theobald (Avec toutes les dissections de polygones, et bien plus encore)

Comments

[El Jj]

Frings > Mea culpa, je pense que j'ai juste fait une erreur en recopiant le nombre dans le tableau ! ;-)

Je ferai surement un article à propos des découpages articulés, d'après l'excellent article de Delahaye dans l'un des derniers Pour la science.

[C. Frings]

Bonjour,

Pour le découpage de la croix en carré, c'est possible avec 4 pièces : si on note de A à L les sommets consécutifs de la croix, A étant l'un des quatre sommets "intérieurs", il suffit de la découper par les droites (AF) et (DI).

Ce découpage provient, comme souvent, de la superposition de deux pavages.

Étonnamment, vous citez un minimum de 5 pièces (peut-être pour un découpage articulé ?).

Merci pour ce blog passionnant !

[me396]

Salut,

Un très bon site sur les paradoxes ici aussi : http://pagesperso-orange.fr/paradoxes/
J'aime beaucoup ce blog très complet !

[Nulenmath]

Excellent message, toutefois la trivialité n'est pas l'absurdité. De même qu'en logique formelle, cf. les prolégomènes de Husserl.