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Changement de formule
L'ensemble de Mandelbrot est donné par la formule zn+1 = zn² + c . Et si on change cette formule, qu'est ce qu'il se passe ?
Petite galerie de portrait des cousins proches de Mandelbrot !

 

Dans la famille Multibrot
Le plus simple des changements à effectuer dans la formule, c'est remplacer 2 par un autre nombre. Avec des entiers supérieurs à 2, on obtient les ensembles de Multibrot.

Multibrot3
zn+1=zn3+c

Multibrot4
zn+1=zn4+c

Multibrot5
zn+1=zn5+c

Multibrot17
zn+1=zn17+c

Dans la famille puissance négative
Les puissances positives, c'est bien, les puissances négatives, c'est mieux ! (A condition de ne pas commencer la suite des zn par 0 mais par c)

Multibrot_2
zn+1=zn-2+c

Multibrot_3
zn+1=zn-3+c


Multibrot_7
zn+1=zn-7+c

Dans la famille Mandelbar
Cette fois, on va faire intervenir dans nos calculs le conjugaison d'un nombre complexe. Si z=a+ib, on note z le conjugué de z, et on a z=a-ib. On remplaçant z par z dans la formule donnant l'ensemble de Mandelbrot, on retrouve le tricorne, alias ensemble de Mandelbar.

Mandelbar2
Le tricorne : zn+1=zn2+c

Mandelbar3
zn+1=zn3+c

Dans la famille Burning ship
Si notre nombre complexe est de la forme z=a+ib, on note Re(z) la partie réelle de z (Re(z)=a) et Im(z) sa partie imaginaire (Im(z)=b). Si x est un réel, on note |x| sa valeur absolue, qui vaut x si x>0 et -x si x<0. A partir de ces 3 fonctions, on trouve une variante (tordue dans sa définition) beaucoup plus éloigné du Mandelbrot d'origine : la fractale du navire brûlant (Je me permet de baptiser en français cette fractale pour l'occasion !)

BurningShip
Burning Ship fractal : zn+1 = [|Re(zn)| + i.|Im(zn)|]² + c

BurningShip2
Zoom sur la fractale (en bas, à gauche)

Dans la famille "Dessinons des bonshommes avec des formules bizarres"
En mélangeant un peu tout ça, et avec un logiciel comme XaoS, on peut tester tout un tas de formule, et avancer encore un peu plus dans la quête ultime de tout enfant de 5 ans : dessiner un bonhomme !

bonhommes
A gauche, nous avons madame zn+1 = [|Re(zn)| - i.Im(zn)]3 - i.c
A droite, nous avons monsieur zn+1 = [|Re(zn)| - i.Im(zn)]5 - i.c