Toujours dans les fractales, un peu plus éloigné de Mandelbrot, mais tellement joli : les fractales de Newton ! Le nom de cette fractale vient de la méthode de Newton, inventée par Isaac Newton, le même qui a trouvé les lois de la gravitation dans une pomme.

Newton

Fractale de Newton associé au polynôme X³-1

 

La méthode de Newton
Un pan des mathématiques consiste à faire des calculs exacts, l'autre pan à faire des calculs approchés. Ce deuxième pan, ce sont les méthodes numériques, dans lesquelles on s'amuse généralement à trouver les meilleurs moyen de calculer un tas de décimales de pi ou deracinede2.
Prenons le cas deracinede2, qui vaut approximativement 1,4142135... Comment a t-on trouvé cette valeur ? Une façon de retrouver ces décimales est la méthode de Newton.

Pour une fonction f donnée (un polynôme, par exemple), la méthode de Newton permet de retrouver ses racines (les x tels que f(x)=0). Le principe de cette méthode est d'approcher la fonction par ses tangentes.
Prenons par exemple la fonction f:x->x²-2.

methode

On connait ses racines, c'est racinede2 (le point A) et -racinede2 (le point A'). On va alors approcher l'un de ses deux points, de manière à avoir toujours plus de décimales.

On va alors prendre un point quelconque x0 et tracer la tangente à la courbe au point (x0,f(x0)). On peut alors trouver l'abscisse du point x1, croisement entre la tangente et l'axe horizontal. En recommençant avec le point x1, on se rapproche du point A, que l'on recherche.

La suite des points xn se rapproche du point A que l'on cherche, cette suite est donnée par la formule (que l'on trouve par calculs) :

formule_methNewt

Avec la fonction f:x²-2 et en partant de x0 = 2, la formule devient formulemn2.
x0 = 2
x1 = 1,5
x2 = 1,416666667
x3 = 1,414215686
x4 = 1,414213562

En 4 itérations, on a déjà au moins 9 décimales correctes !

Choix des termes initiaux
En partant de n'importe quel valeur x0 positive, on aboutit après plus ou moins d'itérations à racinede2 ; si on avait choisit une valeur de départ x0 négative, on aurait aboutit à -racinede2.
On peut séparer les valeurs possibles de x0 en 3 catégories : celles qui aboutissent à racinede2, celles qui aboutissent à -racinede2 et celles qui n'aboutissent nulle part (ici, il n'y a que x0=0).

Prenons à présent la fonction f:x->x³-3x²+2x. Ce polynôme admet 3 racines : 0, 1 et 2.
Que se passe t'il lorsque l'on applique la méthode de newton en partant de x0 = 0,4 ? En partant de x0 = 0,5 ? En partant de x0 = 0,6 ? De x0 = 0,5527 ? De x0 = 0,55275 ? De x0 = 0,5528 ?

Solutions :
x0 = 0,4 -> 0
x0 = 0,5 -> 2
x0 = 0,6 -> 1

x0 = 0,5527 -> 0
x0 = 0,55275 -> 2
x0 = 0,5528 -> 1

En choisissant une couleur par limite possible (0:jaune, 1:vert et 2:bleu), on retrouve quelque chose de fractal !

frac_x3m3x2p2x


Les fractales de Newton
Il est temps de passer aux nombres complexes !

Prenons à présent la fonction f:x->x³-1. Il ne possède qu'une racine réelle (x=1), donc peu importe le choix de x0 (réel), utiliser la méthode de Newton amènera vers 1.

Mais la méthode de Newton marche également dans le plan complexe, avec des termes initiaux complexes ! Et notre polynôme possède également deux racines complexes : j = -0.5 + i.0.866 et j = -0.5 - i.0.866.
Pour quels x0 la méthode de Newton nous mènera à x ? Quelles valeurs mènent à j ? Et à j ?

La solution, en image :

Newton2

On peut également faire la même chose pour d'autres fonctions :

Newton4
f:x-> x8 + 15x4 − 16

Newton5
f:x->z5 − 3iz3 − (5 + 2i)z2 + 3z + 1


Sources :
Images produites par Xaos (Pas très efficace sur les fractales de type Newton), et empruntées sur Wikipédia.