4, 15, 23, 24, 35 et 42

Ces numéros sont ceux du loto bulgares tombés le 6 septembre 2008. Et aussi ceux tombés 10 septembre 2008, lors du tirage suivant ! Et trois de ces nombres sont à nouveau tombés la semaine suivante !

Signe avant-coureur de l'apocalypse ? Tricherie éhontée de la part des dirigeants du Toto 2 ? Coïncidence ? Je laisse les prophètes argumenter sur la réponse A et les théoriciens du complot sur la réponse B. Ce n'est qu'une formidable coïncidence, et l'on devrait tous se réjouir d'avoir vécu ça au moins une fois dans notre vie !

Le but ultime du Loto bulgare, comme celui de la plupart des loteries nationales (et contrairement au loto français actuel), c'est de trouver parmi 49 numéros quels sont les 6 qui seront tirés au sort. Chaque combinaison de nombre a autant de chance de tomber que n'importe quel autre, et une combinaison jolie comme "8-10-12-14-16-18" a la même chance de tomber que "2-3-6-11-23-47" (bien que les suites arithmétiques sont moins probables que les suites plus chaotiques, je l'accorde).

Premier tirage
En jouant à un moment donné la combinaison de votre choix [prenons (1,2,3,4,5,6)], quelle est la probabilité de gagner le gros lot ? Il faut pour cela calculer le nombre total de combinaisons qui pourraient potentiellement sortir. Il faut donc calculer le nombre C₄₉⁶ (lire "6 parmi 49", ie, nombre de combinaison de 6 boules parmi 49, sans prendre en compte l'ordre).

La première boule est choisie parmi les 49, la deuxième est choisie parmi 48, et ainsi de suite jusqu'à la sixième. Cela donne donc 49×48×47×46×45×44≈10¹⁰  arrangements de 6 numéros.
Seulement, le loto n'est pas une course de chevaux : pas besoin de pronostiquer les numéros dans le bon ordre, {1,2,3,4,5,6} est la même chose que {6,5,4,3,2,1}, à une permutation près. Dans les 10¹⁰ arrangements, certaines combinaison sont représentées plusieurs fois (toutes, en fait). Une combinaison donnée sera toujours représentée 720 fois dans l'ensemble des 10¹⁰ arrangements.
Par exemple, combien d'arrangements sont équivalents à {1,2,3,4,5,6} ? On a 6 choix pour la première position (1, 2, 3, 4, 5 ou 6), puis 5 choix pour la deuxième position, et ainsi de suite. Cela donne 6×5×4×3×2×1 (noté "6!" - lire "factorielle de 6") façons d'obtenir {1,2,3,4,5,6}, soit 720 façon d'écrire n'importe quelle combinaison de 6 numéros. Au final, le nombre de combinaisons différentes que l'on peut obtenir est 49×48×47×46×45×44/6×5×4×3×2×1.

Une formule permet donc de retrouver la valeur :

Dans le cas présent, on a :

Bref, il y a une chance sur 13 983 816 pour qu'un individu lambda gagne le gros lot à un tirage gamma. Ce n'est pas beaucoup, mais ce n'est pas impossible...

Deuxième tirage
Le fait extraordinaire, c'est quand même que la combinaison soit sortie deux fois de suite. Autrement dit, quelle est la probabilité pour que le tirage de la semaine n+1 soit le même que la semaine n ?
Plaçons nous au 7 septembre : quelle est la probabilité pour que la combinaison (4, 15, 23, 24, 35, 42) sorte au prochain tirage ? Puisque les boules n'ont pas de mémoire, c'est toujours la même chose : une chance sur 14 millions (et non 4.2 millions comme ont pu le rapporter la plupart des journalistes).

Formidable coïncidence ! En fait, quand 14 millions de grilles sont jouées, il y a en moyenne un gagnant parmi ceux là. Pour une fois, c'est la bulgare des jeux qui a gagné à son propre tirage ! (Mais ce n'est pas la seule, puisque 18 autres personnes se sont dit au cours de la semaine "si c'est tombé une fois, ya pas de raison pour que ça ne retombe pas la fois suivante"...)

Ce qui est étonnant, c'est que ça s'est produit au début du mois ! Il est vrai que ça aurait été tout aussi étonnant si l'évènement avait eu lieu dans un autre pays un autre jour.

N-ième tirage
Mais au fait, quelle est la probabilité pour que j'assiste à un tel évènement au cours de ma vie ?

Selon Wikipédia, une soixantaine de pays (au moins) disposent d'un loto national, chacun avec ses propres règles. Pour simplifier, disons que le gros lot a toujours une probabilité de une chance sur 14 millions, avec 2 tirages par semaine. Par année, cela donne 120 tirages. Puisque j'aimerai vivre au moins 80 ans, j'espère assister dans ma vie à environ 500 000 tirages de loto.

500 000 tirages avec une probabilité de 1/14 000 000 cela donne finalement une chance sur 28 pour assister à ce fait extraordinaire au moins une fois au cours de ma vie ! Ce n'est pas énorme, mais ça reste toujours autant que de passer au tableau le jour où l'on a pas fait ses exercices...
Pas si exceptionnel que ça, finalement !...

En fait, les évènement improbables n'arrivent jamais. Sauf des fois.

Reste cette question : quelle était la probabilité pour qu'un tirage sorti deux fois de suite lors du loto bulgare ressemble à 66% aux nombres qui ont fait gagner Hurley au loto dans Lost ?
Environ une chance sur 1 013 !
Et ça, on peut dire que ça laisse songeur...

Comments

[Tipierre]

Je trouve ça marrant que 18 joueurs aient joué la même chose que la semaine précédente ! C'est tellement contre-intuitif ! Mais le fait qu'il y ait 18 gagnants, et le billet linké par Arthur nous montrent qu'il vaut mieux être plus aléatoire dans ses choix...

[Tom Roud]

Moi, ce qui me frappe, c'est que le dernier chiffre du tirage soit 42.

[Arthur]

En France aussi, on a eu des tirages assez surprenants
http://blogperso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/index.php/post/2009/05/11/who-wants-to-be-a-millionnaire
bonne continuation, j'adore votre blog

[Vicnent]

http://www.vicnent.info/blog/index.php?2009/09/17/1280-4-15-23-24-35-et-42-2-fois

:-) pour moi, il y a évidemment tricherie...