Choux romanesco, Vache qui rit et intégrales curvilignes

2010+1 (Cette nouvelle année est-elle intéressante ? Episode 02)

Toi, qui fais partie de la partie de l'humanité qui utilise le calendrier grégorien, tu viens de passer à l'année 2011 ! Il est donc légitime que je te souhaite en ce premier dimanche de janvier une très bonne année 2011 !

Dans un souci de non originalité, je reprends donc mon idée de l'année dernière... Voici donc un nouvel épisode de "Cette nouvelle année est-elle intéressante ?" ! Le principe est simple : regarder si le nombre 2011 a plus de propriétés intéressantes que le nombre 2010. L'arbitre du combat sera l'OEIS (The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences), l'encyclopédie de toutes les suites de nombres entiers, de la suite de Fibonacci [A000045] jusqu'aux nombres premiers p tels que p+38 n'est pas premier [A140563]. Si un nombre donné possède une propriété intéressante, il sera dans l'encyclopédie !

Par exemple, le nombre 2009 possède à l'heure actuelle 101 propriétés intéressantes (par exemple, c'est un nombre n qui divise le nombre 6ⁿ + 5ⁿ + 4ⁿ + 3ⁿ + 2ⁿ + 1ⁿ [A056745]), soit 11 de plus que l'année dernière.
Le nombre 2010, quant à lui, en possède 9 de plus que l'année dernière, ce qui élève son score à 140 propriétés intéressantes (par exemple, c'est un nombre 21-gonal [A051873]).

Et le nombre 2011, alors ? Plus de propriétés que 2010 ? Moins de propriétés que 2009 ?... La réponse  va peut-être vous surprendre, puisque...

2011 possède 331 propriétés intéressantes !

Pourquoi tant de propriétés ? Qu'est ce que 2011 a de plus que 2010 ? Devra-t-on être déçu quand on apprendra à quel point 2012 n'est pas intéressant ? Qui est le plus fort entre l'éléphant et le rhinocéros ?  Il est l'heure d'examiner les différentes propriétés de 2011...

2011 est un nombre premier tel que...
La première chose qui explique cette surminéralisation de 2011, c'est que c'est un nombre premier. La dernière fois où c'est arrivé, c'était en 2003. Et les nombres premiers ont une fâcheuse tendance à être sur-représentés dans l'OEIS, puisque l'on croise leur primalité avec toutes les propriétés imaginables. 2011 a donc beaucoup de propriétés de la forme "nombre premier tel que...".
Dans les faits, on trouve donc que 2011 :
- est un nombre premier n tel que 2n-1 est premier [A005382] (puisque 4021 est premier)
- est un nombre premier qui est la somme de 11 nombres premiers consécutifs [A127340] (puisque 2011 = 157 + 163 + 167 + 173 + 179 + 181 + 191 + 193 + 197 + 199 + 211)
- est un nombre premier qui reste premier quand on échange les 0 et les 2 [A180517]
- est un nombre premier de la forme 30n+1 [A132230]
- est un nombre premier dont la moyenne des chiffres est entière [A069709]
- est un nombre premier qui peut s'écrire sous la forme x²+39y² [A033227]
- est un nombre premier n tel que n-18 et n+18 sont premiers [A161723]
et je passe les centaines d'autres qui croisent primalité et propriétés totalement démentes.

Ces propriétés liées à la primalité de 2011 représentent la très grande majorité des propriétés liées à 2011. Pour ce qui est des propriétés vraiment intéressantes, il faut un peu plus fouiller. Il y en a au moins quelques-unes...

A177359
Pour changer de la traditionnelle énigme "Complétez la suite 1, 11, 21, 1 211, 111 221, ...", vous pouvez coller les amateurs d'énigmes avec le remake suivant, qui contient 2011 :

Complétez la suite suivante :
0
10
2011
303112
...

L'énigme marche sur le même principe que la suite de Conway : il faut décrire l'ensemble des lignes précédentes, chiffres par chiffres. Quand on regarde, il y a quatre '0', cinq '1', deux '2' et deux '3'. La suite logique se complète alors par 40512223.

A139253 (Structure des cure-dents)
Prenez un stock de cure-dents, et posez-en un premier sur la table, verticalement. C'était l'étape 1.
Placez un nouveau cure-dent horizontalement en chacune des deux extrémités du premier cure-dent. Chaque nouveau cure-dent doit avoir son milieu placé sur l'extrémité d'un ancien cure-dent. C'était l'étape 2, qui demande 3 cure-dents.
Quatre extrémités de cure-dents sont maintenant libres, soit quatre places pour placer verticalement quatre nouveaux cure-dents. C'est l'étape 3, qui demande 7 cure-dents.
Chaque étape nouvelle étape consiste alors à ajouter des cure-dents aux extrémités libres de l'étape précédente, en veillant à ce qu'un nouveau cure-dent ne touche qu'un seul ancien cure-dent.

Les 7 premières étapes de la structure en cure-dents, qui demande respectivement 1, 3, 7, 11, 15, 23 et 35 cure-dents.

On obtient alors la suite des cure-dents : 0, 1, 3, 7, 11, 15, 23, 35 ... A la fin de la soixantième étape, il faudra... 2011 cure-dents !

Soixantième étape de la structure en cure-dents : non seulement, c'est joli, mais surtout, il faut 2011 cure-dents !

A125852
Combien de points d'un réseau triangulaire peut-on au maximum enfermer dans un cercle de diamètre d ? C'est une question que l'on est parfaitement en droit de se poser !

Par exemple, pour un cercle de diamètre d=4, on peut enfermer 19 points, et pour d=5, on peut enfermer jusqu'à 24 points.

Et pour un cercle de diamètre 47 ? On peut enfermer 2011 points, évidemment ! (Celle-ci risque d'être un peu plus ardue à replacer dans un dîner mondain, même de mathématiciens)

Mais 2011 a encore d'autres propriétés intéressantes. Par exemple :
- le carré du miroir de 2011 est égal au miroir de son carré.
- la somme des chiffres de 2011 et de 2011² sont des carrés parfaits
- il y a exactement 2011 nombres premiers entre 25 et 25³.
- la première occurrence du nombre 35 dans le développement en fractions continues de la constante de Champernowne apparaît à la 2011e position.
- 2011 est une puissance de 2 écrite en base 5 (en l'occurrence, il s'agit de 2⁸)

Mais surtout, quand on fait partir la suite de Syracuse de 2011, on obtient la suite 2011, 6034, 3017, 9052, 4526, 2263, 6790, 3395, 10186, 5093, 15280, 7640, 3820, 1910, 955, 2866, 1433, 4300, 2150, 1075, 3226, 1613, 4840, 2420, 1210, 605, 1816, 908, 454, 227, 682, 341, 1024, 512, 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1... Avant de retomber sur 1, il y a... 42 étapes ! Tout concorde !

Et la santé !

Sources :
- De quoi générer la structure en cure-dents. D'autres liens intéressant sur la page de la suite [A139250].
- Les meilleurs cercles du problème de la suite A125852, pour 1≤d≤14.