Choux romanesco, Vache qui rit et intégrales curvilignes

11 septembre 2011

[#] Tout ce que vous avez toujours voulu savoir sur le théorème de Brouwer (sans jamais oser le demander)

11 septembre 2011 : la moitié de la Terre rend hommage aux attentats du 11 septembre 2001, pendant que l'autre moitié se passionne pour la coupe du monde de Rugby. Pour un blog bimensuel d'actu' comme le mien, c'est le moment où jamais de ne pas se planter dans le choix du sujet. Vais-je parler de la théorie du complot dans les mathématiques, ou profiter de l'homéomorphie entre les ballons de rugby et de football pour écrire un nouvel article de topologie...

Non. Aujourd'hui, je vais jouer la contre-programmation, en proposant un article consacré à la démonstration du théorème de Brouwer par le jeu de Hex ! Ha !

Le jeu de Hex
Le jeu de Hex, c'est un jeu de société qui se joue sur un plateau losange à cases hexagonales qui ressemble à ça :

Un plateau 11×11, mais on peut jouer au jeu de Hex sur un plateau plus grand ou plus petit

Chaque joueur pose à son tour un jeton de sa couleur (rouge ou bleu) sur l'une des cases ; l'objectif est de relier les côtés opposés du losange, ceux de sa couleur.

Vous voulez jouer ? Vous pouvez tester ici. Je vous préviens : même en commençant, le jeu n'est pas aisé...

Fait tout à fait intéressant : une partie de Hex ne se termine jamais par un match nul. Si le plateau est complètement rempli, il y a forcément un chemin connectant rouge ou un chemin connectant bleu (mais jamais les deux en même temps). C'est ce que l'on appelle le théorème de Hex.

Le théorème du jeu de Hex : sur un plateau plein, il existe au moins un chemin gagnant. (Ici, c'est le joueur rouge qui gagne).

Intuitivement, ce fait est évident : on peut imaginer qu'une case rouge est un hexagone de terre, et une case bleue est un hexagone d'eau. Dans ce cas là, soit les cases bleues forment une rivière et il est impossible de passer (le chemin connectant est le bleu), soit pas (le chemin connectant est rouge).

Comme souvent en topologie, ce qui est évident ne l'est plus à la démonstration (on peut penser au théorème de Jordan). Le théorème de Hex ne déroge pas à la règle, et ce n'est pas pour rien si le théorème de Jordan intervient dans certaines des preuves.

Le jeu de Hex à l'instar du jeu de go, du jeu de Nim ou du jeu des bâtonnets de Fort Boyard, est un jeu sans hasard à informations complètes. Le corollaire de ce fait : il existe forcément une stratégie gagnante pour l'un des joueurs. Pour être plus précis, c'est le premier joueur qui pose son pion qui dispose d'une stratégie qui est gagnant dans 100 % des cas (théorème de Nash). Le seul souci, c'est que le théorème ne dit pas quelle est la stratégie, si bien que la stratégie gagnante en question n'est pas connue, sauf pour les plus petits plateaux (pas plus de 9×9 cases).

Et je peux même le prouver : supposons que le joueur 2 dispose d'une stratégie gagnante. Alors, le joueur 1 passe son tour en jouant n'importe où, et peut maintenant prétendre être le joueur 2, et donc, disposer de la stratégie gagnante. Contradiction ! C'est l'argument du vol de stratégie, qui marche pour de nombreux autres jeux combinatoires (notamment, le jeu de Chomp).

Historiquement, le jeu de Hex est créé en 1942 par Piet Hein sous le nom Polygon en 1942. L'idée du jeu lui est venu alors qu'il tentait désespérément de démontrer le théorème des 4 couleurs. Il l'a montré au public lors d'une conférence à Copenhague sur les mathématiques des jeux, comme exemple de ce qu'est un bon jeu. Indépendamment de tout ça, John Nash (le prix Nobel d'économie, le taré que l'on voit dans le film Un homme d'exception de Ron Howard) réinvente Hex, pour montrer qu'il existe des jeux dans lequel le joueur 1 a une stratégie gagnante, mais que personne ne peut connaître. Le jeu prendra le nom Hex (comme hexagone) lorsque l'éditeur de jeu Parker (vous savez, le Monopoly...) rachète le tout.

Le théorème de Brouwer
Le théorème de Brouwer, lui, n'a rien à voir avec le jeu de Hex. C'est simplement un théorème de topologie qui énonce que toute application continue d'une boule fermée d'un espace euclidien dans elle-même admet un point fixe. Autrement dit, si on a une fonction f qui va d'une boule dans une boule (par exemple, la fonction qui à chaque goutte de café dans une tasse associe sa place après le touillage), il existe un point x₀ tel que f(x₀)=x₀  (après le touillage, il y aura au moins une goutte de café qui n'aura pas bougé). Ce n'est pas le plus sexy des théorèmes de topologie, mais c'est grâce à lui qu'est née toute la théorie des théorèmes de points fixes.

Le hollandais Luitzen Egbertus Jan Brouwer à qui l'on doit se théorème était un fervent défenseur de l'intuitionnisme, doctrine mathématique qui (pour simplifier) déteste toutes les démonstrations non constructives (quand on dit "il existe", on le fabrique, au lieu d'utiliser des arguments par l'absurde ; par exemple, le théorème de Nash n'est pas du tout constructif). Ironie de l'histoire : s'il y a un théorème qui n'est pas constructif, c'est bien celui de Brouwer...

Ce théorème aura connu de nombreuses démontrations (topologique, en utilisant des propriétés du groupe fondamental ; combinatoire, par le lemme de Sperner...), mais il en existe une bien plus classe que les autres : celle qui utilise le théorème de Hex ! C'est la démonstration de David Gale (1979), et je vais vous la présenter pas plus tard que tout de suite :

[Attention : la démonstration qui suit est technique !...]
Plutôt que de travailler sur un plateau à cases hexagonales, on va jouer sur un carré. On note donc B_k le plateau de jeu carré (k+1)×(k+1) suivant. Les côtés opposés seront notés N,S,E et O.

Voici B_k , la version carrée du plateau de hex 6×6

Le théorème de Hex énonce donc :

Soient H et V deux ensembles recouvrant B_k. Alors,
- soit H contient un chemin reliant E à O
- soit V contient un chemin reliant N à S

Le théorème de Brouwer, dans le cas plan, et en changeant disque par carré, dit :

Soit I=[0,1]² et f:I→I une fonction continue. Alors, il existe x₀ ∈I tel que f(x₀)=x₀ .

Bref. Plutôt que de montrer qu'il existe un point fixe, on va montrer qu'il existe un point qui bouge pas trop : qu'il existe x tel que |f(x)-x|≤ε, pour ε arbitrairement petit (I est compact, donc ça suffit). La continuité de f étant uniforme, il existe δ≤ε tel que |x-x'|≤δ implique |f(x)-f(x')|≤ε. On prend la norme |x|=max(|x₁|,|x₂|).

Du coup, on considère le plateau B_k avec k plutôt grand (vérifiant 1/k≤δ). On considère alors les 4 sous-ensembles de B_k qui voici :

H⁺ = {z∈B_k | f₁(z/k) - z₁/k > ε}
H^- = {z∈B_k | z₁/k - f₁(z/k) > ε}
V⁺ = {z∈B_k | f₂(z/k) - z₂/k > ε}
V^- = {z∈B_k | z₂/k - f₂(z/k) > ε}

Où f=(f₁,f₂) et z=(z₁,z₂). En gros, un sommet z de B_k appartient à H⁺ (resp. H^-, V⁺, V^-) si z/k est déplacé par f de ε unités vers la droite (resp. vers la gauche, le haut, le bas). Si point fixe il y a, il existera un sommet de B_k qui sera dans aucun de ces sous-ensembles.

Fait supplémentaire : les sous-ensembles H⁺ et H^- (resp. V⁺ et V^- ) ne sont pas connectés. Pour voir ça, prenons z∈H+ et z'∈H- adjacents. Par définition de H⁺ et H^- , on a :

f₁(z/k) - f₁(z'/k) + z₁'/k - z₁/k  > 2ε

Mais, puisque z∈H⁺ et z'∈H^- sont adjacents, on a  |z'/k - z/k|≤δ≤ε, ce qui donne

f₁(z/k) - f₁(z'/k) > ε

Ce qui contredit le choix initial de δ (on a |f(z/k)-f(z'/k)|>ε). 

Bref : H⁺ et H^- (resp. V⁺ et V^- ) ne sont pas connectés. Notons H=H⁺∪H^- et V=V⁺∪V^-. Si il existe un chemin connectant E à O dans H, il appartient soit à H⁺ , soit à H-. Mais H+ correspond aux points de I déplacés vers la droite : il n'y en a pas dans le bord droit de I. Autrement dit, H⁺ n'est pas connecté à E. De la même façon, H^- (resp. V⁺, V^- ) n'est pas connecté à O (resp N, S). Il n'y a donc pas de chemin connectant : H et V ne recouvrent pas B_k (pour ne pas contredire le théorème de Hex). Du coup, il existe un point qui ne bouge pas : c'est le point x₀ recherché !

[Fin de la démonstration pénible]

Évidemment, le théorème de Hex se généralise aux dimensions supérieures, généralisant par là même la démonstration qui précède. Plus fort encore : il montre que le théorème de Brouwer permet de démontrer le théorème de Hex !

Je crois que c'est à peu près ce que je voulais dire, en ce dimanche 11 septembre...

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Sources :
Hex : Everything You Always Wanted to Know About Hex But Were Afraid to Ask, par Thomas Maarup (tout sur le jeu de Hex : son histoire, ses stratégies)
The Game of Hex and the Brouwer Fixed-Point Theorem, par David Gale (tout sur l'équivalence entre le théorème de Hex et le théorème de Brouwer)

26 juin 2011

[#] 40 façons de distinguer une sphère d'un tore

Soyons honnêtes. Depuis 1883, les topologistes ne font qu'une seule chose : chercher tous les moyens possibles et imaginables pour prouver qu'une sphère et un tore, ce n'est pas la même chose. Depuis l'invention par Poincaré des groupes fondamentaux jusqu'aux avancées les plus abouties de la K-théorie, tout nouveau théorème de la discipline n'a qu'un seul but, inavoué : prouver au monde que, bien qu'une tasse de café et un beignet sont une seule et même chose, il n'en est pas de même pour tout ce que l'on trouve sur une table de petit déjeuner.

Rappelons quand même de quoi on parle. A propos des sphères ou des tores, ça sera ceux de dimension 2 (au-delà, ça sera juste pour le plaisir de la généralisation) (d'où leur nom : S² pour la sphère et T² pour le tore). La formulation "est la même chose que" renverra aux notions d'homéomorphisme ou de difféomorphismes : en gros, deux objets sont les mêmes si on peut déformer l'un pour obtenir l'autre (et inversement), comme une tasse de café et un beignet, ou comme un ballon de foot, de rugby ou de n'importe quel autre sport.

Une sphère, c'est un ballon : l'ensemble des points qui sont à une même distance donnée d'un autre point point (le centre). C'est aussi ce que l'on obtient quand on recolle deux disques le long de leur bord. C'est aussi ce que l'on obtient quand on replie en un même point le bord d'un disque (on pourrait multiplier le nombre de façons de construire une sphère, ça reviendrait au même. Tout le monde sait ce qu'est une sphère). On s'autorise à déformer la sphère : un cube, c'est encore une sphère.

On peut voir la sphère globalement, comme deux disques (les demi-sphères) recollées ou comme un carré où sont identifiés tous les points du bord (cette dernière présentation facilitera les illustrations).

Un tore, c'est une bouée : la surface du solide de révolution obtenu à partir d'un cercle (autrement dit, un collier de cercles). C'est aussi ce que l'on obtient en recollant deux à deux les côtés opposés d'un rectangle. C'est aussi le quotient d'un espace euclidien par un réseau pas trop dégénéré. Bref.

Le tore, c'est un collier de cercles. On peut le voir comme un carré où sont identifiés les côtés opposés.

Ces deux objets sont-ils les mêmes ? Bien sûr que non ! Mais plutôt qu'un seul argument allant dans ce sens, cherchons en plutôt quarante !...

Disclaimer :
- cette liste n'est pas exhaustive.
- certains points se déduisent d'autres points, et pourtant, il ne sera pas précisé quand c'est le cas.
- dans des soucis de vulgarisation, je me suis laissé aller à de graves simplifications.
- l'introduction de l'article comporte du second degré. En effet, les topologistes ne font pas que chercher des moyens pour distinguer une sphère d'un tore, ils passent aussi beaucoup de temps à distinguer un cercle d'un nœud de trèfle.
- il n'y a pas réellement 40 arguments, mais à peine une dizaine. 40, c'était plus vendeur.
- cet article, c'est surtout un pari avec moi-même. Je me suis demandé si je pouvais parler d'homologie de Morse sur ce blog. La réponse est non.

#1 : le nombre chromatique
Dessinons la carte d'un monde imaginaire sur une sphère. Combien faudra-t-il au minimum de couleurs pour colorier chaque pays sans que deux pays voisins reçoivent la même couleur ? En se débrouillant bien, on peut toujours trouver un moyen de la colorier avec seulement quatre couleurs (voire moins). C'est ce que l'on appelle le théorème des 4 couleurs. Sur un tore, les choses sont différentes : on peut trouver des cartes demandant jusqu'à 7 couleurs.

A gauche, le théorème des 4 couleurs (dans le plan ou sur une sphère)
A droite, le théorème des 7 couleurs, sur un tore

#2 : le plus grand graphe complet planaire
Combien de personnes peuvent trinquer ensemble au maximum sans aucun risque de croiser les bras ? C'est le problème du plus grand graphe complet planaire. Sur une sphère, la réponse est 4 : à partir de cinq personnes, il y aura croisement. Sur un tore, les choses sont différentes : jusqu'à 7 personnes peuvent trinquer sans problème !

Sur une sphère, le plus grand graphe complet planaire est le graphe K4. Pas sur un tore...

#3 : l'énigme des trois maisons
Comment relier trois maisons à l'électricité, à l'eau et au gaz sans que les raccordements ne se croisent. Sur une sphère, le problème est insoluble, ce qui n'est pas le cas sur un tore...

La première ligne de points correspond aux maisons, la deuxième aux services publics. Dans le cas de la sphère, le problème n'est pas résoluble.

#4 : le genre
Combien peut-on dessiner de lacets (une courbe qui revient à son point de départ : une boucle) sur une surface tout en la laissant d'un seul tenant ("connexe") ? C'est le genre de la surface.
Quand on dessine un lacet sur une sphère et qu'on la découpe le long de ce lacet, on se retrouve toujours avec deux morceaux (l'intérieur et l'extérieur). La sphère est de genre 0. Sur un tore, les choses sont différentes : si on découpe, par exemple, un cercle méridien, ce qui reste du tore est toujours connexe.
Le tore est de genre 1, la sphère de genre 0.

On ne peut pas découper un cercle dans une sphère sans créer deux morceaux. Sur un tore, si.

#5 : boule chevelue et du tore bien coiffé
Imaginez un champ de vecteurs unitaires continu sur une sphère. Non.
Imaginez une sphère avec des cheveux en tout point. Avec un peigne, il faut la coiffer (de manière à ce que chaque cheveu soit tangent à la sphère) sans jamais faire d'épi. C'est impossible, et c'est ce qu'énonce le théorème de la boule chevelue. Par contre, il est très facile de coiffer un tore...

On ne peut pas coiffer une boule qui a des cheveux.

#6 : la simple connexité
Revenons à nos histoires de lacets. On dit que deux lacets tracés sur une surface sont homotopes si on peut déplacer l'un sur l'autre. On dit qu'un lacet est homotope à un point si le lacet en question peut se rétracter sur lui même jusqu'à ne former qu'un seul point. Sur une sphère, par exemple, n'importe quel lacet peut se rétracter en un point. On dit alors que la surface est simplement connexe.

L'élastique noir peut se resserrer en un point sans quitter la sphère : la sphère est donc simplement connexe

#7 : le groupe fondamental
On peut faire encore plus avec les lacets : on peut les ajouter ! Par exemple, quand on additionne un lacet qui fait le tour d'un tore avec un autre lacet qui fait le tour d'un tore, on obtient un lacet qui fait... deux fois le tour du tore. Cette addition donne une structure de groupe : le groupe fondamental, aka. π₁.
Le groupe fondamental de la sphère, c'est le groupe nul (on a dit que tous ses lacets peuvent se résumer à un lacet nul). Le groupe fondamental du tore, c'est le groupe ℤ×ℤ.

#8, #9, #10, #11, #12 : le groupe d'homotopie (π₂, π₃, π₄, π₅ et π₆)
S'il y a un π₁, il y a un π_k. Au lieu de regarder la structure de groupe obtenue en plongeant des cercles, on regarde ce que l'on obtient en plongeant des sphères de dimension 2 ou plus. Les groupes d'homologie des sphères sont rarement nuls. Par contre, le tore est asphérique : tous ses groupes d'homotopie (sauf son groupe fondamental) est trivial. Les résultats montrent que :

π₂(S²) = ℤ ; π₃(S²) = ℤ ; π₄(S²) = ℤ₂ ; π₅(S²) = ℤ₂ ; π₆(S²) = ℤ₁₂
π₂(T²) = 0 ; π₃(T²) = 0 ; π₄(T²) = 0 ; π₅(T²) = 0 ; π₆(T²) = 0

#13 : la caractéristique d'Euler
Un polyèdre, c'est un truc à 3 dimensions avec des faces planes polygonales qui se rencontrent selon des segments de droites (ses arêtes). Si on appelle F le nombre de faces d'un polyèdre, A son nombre d’arêtes et S son nombre de sommets, on définit la caractéristique d'Euler du polyèdre par la formule χ = F - A + S. Deux polyèdres homéomorphes ont toujours la même caractéristique d'Euler ; la caractéristique d'un objet, c'est la caractéristique d'un polyèdre qui lui est homéomorphe.

Un cube et un cube troué, respectivement homéomorphes à une sphère et à un tore.

Pour calculer la caractéristique d'Euler d'une sphère, on peut prendre par exemple le cube ou le tétraèdre. Dans le cas du cube, on a F=6, A=12 et S=8, d'où χ(S²)=6-12+8=2.
Pour calculer celle d'un tore, on peut prendre un cube troué, ce qui donne F=16, A=32 et S=16, d'où χ(T²)=16-32+16=0.
La sphère et le tore n'ont pas la même caractéristique d'Euler !

#14 : les complexes simpliciaux
Une surface, ça se triangule : on peut toujours la découper en petits triangles. Comme on fait de la topologie et que ces triangles ne ressemblent pas forcément à des triangles (mais plutôt à 3 points reliés par des courbes), on leur donne plutôt le nom de simplexe. Une surface, donc, ça se découpe en simplexes.
Un tel découpage forme un complexe simplicial si les triangles ne s'intersectent que le long d'une seule face ou d'un seul point. Du coup, on peut chercher le plus petit complexe simplicial de la sphère et du tore.
Le plus petit complexe simplicial de la sphère, c'est celui qui est homéomorphe à un tétraèdre, qui comporte 13 éléments (4 points, 6 arrêtes et 4 faces. Le plus petit complexe simplicial du tore, c'est le polyèdre de Császár, à 42 éléments (7 sommets, 21 arrêtes et 14 faces)).

#15 : l'homologie simpliciale
Et si on utilisait les complexes simpliciaux pour faire des calculs algébriques ? On a qu'à dire que l'ensemble des faces, des segments et des points forment chacun un groupe additif (notés respectivement C₂, C₁ et C₀). Et puis, on définit des applications entre ces ensembles, notées ∂ (le "morphisme de bord"), et on dira que ∂[a,b]=[b]-[a] (l'image d'un segment, c'est la différence de ses points - puisqu'on a dit qu'on avait le droit d'additionner ou de soustraire des points). L'image d'un triangle [a,b,c], c'est une somme sur ses arrêtes : [a,b,c]=[a,b]-[a,c]+[b,c].

Par linéarité, on a des morphismes ∂₂:C₂→C₁ et ∂₁:C₁→C₀, ce qui permet de définir les espaces d'homologie par H_i=Ker(∂_i) / Im(∂_i+1).

Le reste, c'est qu'une affaire de calculs algébriques, qui permettent de déduire les espaces d'homologie simpliciale de la sphère et du tore :

H₂(S²) = ℤ ; H₁(S²) = 0 ; H₀(S²) = ℤ
H₂(T²) = ℤ ; H₁(T²) = ℤ×ℤ ; H₀(T²) = ℤ

Vous avez vu ? Ils n'ont pas les mêmes espaces d'homologie. Ca veut dire que la sphère et le tore, c'est pas pareil...

#16 : l'homologie singulière
C'est comme l'homologie simpliciale, mais en pas pareil. Mais la conclusion est la même : une sphère et un tore n'ont pas les mêmes espaces d'homologie...

#17 : l'homologie cellulaire
C'est comme l'homologie simpliciale et l'homologie singulière, mais en pas pareil.

#18, #19, #20 : l'homologie à coefficient dans ℝ
Tiens, pourquoi on calcule l'homologie sur ℤ alors qu'on peut la faire sur ℝ ? Ca permet toujours de donner 3 nouvelles raisons...

#21, #22, #23 : l'homologie à coefficient dans ℤ₂
Et sur ℤ₂... Bien oui, pourquoi pas sur ℤ₂ ?...

#24 : les fonctions de Morse
Et si on regarde comment se comportent les fonctions sur nos deux objets ? Je parle de fonctions simples, celles à valeurs dans ℝ. La plupart d'entre elles sont appelées fonctions de Morse : leurs dérivées peuvent s'annuler, mais jamais trop. L'exemple le plus simple, c'est l'exemple de la fonction hauteur.
Il faut ensuite regarder où sont les points critiques. Dans le cas des surfaces de dimension 2, ce sont les maxima (locaux), les minima (locaux) et les points selles.

Prenons une sphère, par exemple, et la fonction hauteur : elle a un maximum et un minimum. 2 points critiques.
La même fonction sur le tore fait apparaître plus de points critiques : un minimum, un maximum et 2 points selles.

Les lignes de niveaux de la fonction hauteur laissent apparaitre 2 points particuliers sur la sphère, mais 4 sur le tore. C'est toujours comme ça avec les fonctions de Morse.

En fait, c'est le cas avec n'importe quelle fonction de Morse : sur une sphère, elle aura toujours au moins 2 points critiques, contre 4 sur un tore : ce sont deux objets bien différents !

#25, #26, #27, #28 : l'homologie de Morse
Prenez votre beignet et trempez-le dans de la crème anglaise. Quand on le ressort, la crème anglaise coule sous la gravité. Mais pas n'importe comment : en coulant, le flot de crème anglaise forme des trajectoires, qui vont d'un point critique à un autre point critique.
Avec les points critiques, on fait des groupes. Les lignes de trajectoire permettent de définir un morphisme de bord, qui permet de définir une homologie... Du coup, on peut définir homologie de Morse :

H₂(S²) = ℤ ; H₁(S²) = 0 ; H₀(S²) = ℤ
H₂(T²) = ℤ ; H₁(T²) = ℤ×ℤ ; H₀(T²) = ℤ

Quoi, ça ne fait qu'un seul argument ? C'est parce que je n'ai pas précisé qu'il y a aussi des complexes de Morse sur ℤ₂, sur ℝ, sur ℝ en tordant les coefficients par l'orientation...

#29, #30, #31, #32 : la cohomologie de Morse
Hey, il se passe quoi si on prend la même fonction de Morse, mais à l'envers ?...

H²(S²) = ℤ ; H¹(S²) = 0 ; H⁰(S²) = ℤ
H²(T²) = ℤ ; H¹(T²) = ℤ² ; H⁰(T²) = ℤ

Ah oui, ça change tout, le chiffre à côté du H est plus en bas, mais en haut...

#33 : la cohomologie de De Rham
Hey, et si on faisait de l'homologie avec les formes différentielles, en prenant pour morphisme de bord la dérivée extérieure ?... Ça, c'est une bonne idée !

#34 : les nombres de Betti
En fait, quelle que soit la façon dont on calcule l'homologie, on trouve toujours, à peu de choses près, la même : quelque chose qui ressemble à ℤⁿ (avec parfois des éléments de torsion, qui ne nous intéressent pas dans le cas présent). Le k-ième nombre de Betti, c'est tout simplement le rang du k-ième espace d'homologie, qui permet de résumer en très peu de symboles tout ce qu'on a fait jusqu'alors :

b₂(S²) = 1 ; b₁(S²) = 0 ; b₀(S²) = 1
b₂(T²) = 1 ; b₁(T²) = 2 ; b₀(T²) = 1

Remarquons au passage que la caractéristique d'Euler d'une surface est donnée par la formule χ=b₂-b₁₊b₀.

#35 : le polynôme de Poincaré
Et si on fabriquait un polynôme à partir des nombres de Betti ! Puisqu'ils n'ont pas les mêmes nombres de Betti, ils n'ont pas le même polynôme de Poincaré. Et puisqu'ils n'ont pas les mêmes polynômes de Poincaré...

P_S(X) = 1 + X²
P_T(X) = 1 + 2X + X²

#36, #37, #38, #39 : divers
J'oublie forcément des arguments évidents, donc je garde cet espace pour en ajouter, au cas où...

#40 : le nom
Vous avez remarqué ? Le tore et la sphère n'ont pas le même nom. Il doit surement y avoir une bonne raison...

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Sources :
Les images proviennent principalement de wikipédia : là, là, là, là et là

12 juin 2011

[#] The Farnsworth Parabox

[6ACV10 - The Prisoner of Benda]

Le 23 juin prochain, Comedy Central lancera la deuxième partie de la sixième saison de Futurama, la petite sœur des Simpsons, créée par Matt Groening et développée par David X. Cohen. La science est un sujet très présent chez les Simpsons, mais c'est encore pire dans Futurama, où les clins d’œil à la physique, à l'informatique ou aux mathématiques sont légions, sans parler des références à la culture pop  ! Il faut dire que, outre David X. Cohen, diplômé en physique de Harvard et en informatique de Berkeley, la série compte dans ses scénaristes Ken Keeler, diplômé en mathématiques appliquées de Harvard et Jeff Westbrook, diplômé en informatique à Princeton...

La série, diffusée de 1999 à 2003 sur la Fox, et depuis 2008 sur Comedy Central, narre les aventures de Fry, un livreur de pizza très moyen de la fin du XXe siècle, propulsé par erreur en l'an 2999...

 
Quelques clins d’œils à la physique [2ACV10 - Le clone de Farnsworth], à l'informatique [1ACV03 - Le colocataire] ou à l'électronique [6ACV04 - Proposition infinity]. La géologie [1ACV09 - L'enfer, c'est les autres robots] semble un peu moins appréciée...

Aujourd'hui, voici un panorama de tout ce que l'on peut trouver de mathématique dans Futurama ! (ça reste un blog mathématique !)

Nombres taxicab
Quand un nombre apparaît dans Futurama, c'est rarement un nombre choisi par hasard. Le nombre 1729, notamment, apparaît à de très nombreuses reprises :

 
- Bender serait le 1729e robot de M'man [2ACV04 - Conte de Noël]
- Lors d'un épisode, l'équipe visite de nombreux univers parallèles, dont le n°1729 [4ACV15 - Le bon, la boîte et l'ahuri]
- Le Nimbus, vaisseau commandé par Zapp Brannigan, a pour numéro BP-1729 [5ACV05 - Le Monstre au milliard de tentacules]

Ce nombre est très célèbre pour être un nombre taxicab : un nombre qui peut être exprimé comme la somme de deux cubes, de plusieurs façons différentes (en l’occurrence, 2). En effet,

1729 = 1³ + 12³ = 9³ + 10³

Ces nombres sont surtout connus pour faire l'objet d'une anecdote impliquant Hardy et Ramanujan. Alors que le premier rendait visite au deuxième, malade, il lui annonça que le numéro de son taxi, 1729, était plutôt ennuyeux, et qu'il espérait que ce n'était pas un mauvais présage. Ramanujan lui dit que non, c'est un nombre tout à fait intéressant : il est exprimable comme la somme de deux cubes de deux façons distinctes !

Et à propos, le 3ème nombre Taxicab (exprimable comme somme de deux cubes de trois façons différentes) est 87539319 :

87539319 = 167³ + 436³ = 228³ + 423³ = 255³ + 414³

Qui, comme par hasard, apparaît -en petit- sur un taxi... [5ACV01 - La grande aventure de Bender]

Il ne faut pas oublier que les numéros de série de Bender et de Flexo (les deux robots tordeurs) sont respectivement 3370318 (=119³ + 119³) et 2716057 (=952³ + (−951)³) , tous deux exprimables comme la somme de deux cubes. (Le genre de coïncidence qui font bien rire les deux robots lors de leur première rencontre). [2ACV06 - Le moins pire des deux]

Aucun rapport : à la Central Bureaucracy, il existe une salle appelée Cubicle Room 729. On remarque tout de suite que 729 n'est autre que 9³, et pour cause, la salle consiste en un cube 9x9x9 de bureaux en open-space.

[6ACV06 - Lethal Inspection]

Nombres parfaits
Dans le registre des nombres qui ne sont pas là par hasard, il y a 6421.12 :

La facture de téléphone de Fry [5ACV05 - Le Monstre au milliard de tentacules]

Si on fait le calcul, on s'aperçoit que Fry a appelé Dial-a-joke... 8128 fois ! (Soit 254 pages, avec 32 entrées par pages). Un nombre pas du tout aléatoire, puisque c'est un nombre parfait, un nombre égal à la somme de ses diviseurs propres. On note au passage que 8128=254*32 est sa factorisation par un nombre premier de Mersenne.

Irrationnels
A en croire la série, plus personne dans le futur n'aura de problèmes avec les nombres irrationnels...

- √2 News, le rendez-vous information de Linda et Morbo de la chaîne √2 [1ACV08 - Un gros tas d'ordures]
- La célèbre route √66 [3ACV02 - Parasites perdus]
- La station de police de la √15e avenue [4ACV04 - Astéroïque]
- Les dés de Mars Vegas (qui n'ont rien d'irrationnels, seulement le plaisir de mettre des radicaux) [5ACV13 - Vous prendrez bien un dernier vert ?]

- De l'huile π-en-1 [3ACV11 - Vol au-dessus d'un nid de robot]
- La πième avenue, qui arrive après la 2e et la 3e [3ACV21 - Les actions du futur]
- Le carton d'un supercollider de la marque πkéa [4ACV04 - Astéroïque]
- π pour le prix de i, au milieu d'une dizaine d'autres spams sur l'écran d'Amy [5ACV01 - La grande aventure de Bender], unique référence au nombre imaginaire i.

Et pour finir avec les références aux constantes mathématiques classique, le nombre e. Le vaisseau de Planet Express passe au travers de séquences de chiffres semblant aléatoires. Il s'agit en fait des décimales de e !

[5ACV09 - Prenez garde au seigneur des robots !]

Infinis
L'infini mathématique est aussi source d'inspiration. Sous sa forme analytique, la proposition ∞ parodie la proposition 8 californienne du 2 mars 2008 interdisant le mariage homosexuel.

[6ACV04 - Proposition infinity]

Mais surtout, l'infini apparaît dans le nom du cinéma de New New York : le Loew's ℵ₀-Plex. A en croire le nom, c'est un multiplexe qui aurait un nombre infini dénombrable de salles (ℵ₀ désignant - à peu de choses près - le nombre d'élément de l'ensemble ℕ). Un gag coupé au montage fait dire à Bender que même avec un nombre dénombrable de salles, le ℵ₀-Plex n'est pas assez grand pour diffuser tous les films Rocky ayant été tournés.

[2ACV08 - Raging Bender]

Solides de Platon
Un des quatre épisode de la saison 4 met en scène la terrible M'man à la recherche de l'anticristal de matière noir, elle-même possédant déjà son cristal. A l'écran, le cristal (rouge) est en forme d'icosaèdre, et l'anticristal (noir) a celle d'un dodécaèdre, qui sont deux solides de Platon (un polyèdre dont toutes les faces sont un même polygone régulier). Mathématiquement, l'icosaèdre et le dodécaèdre sont duaux : on obtient l'autre en reliant le milieu des faces de l'un.

Dans ce même épisode, une scène montre les 3 autres polyèdres de Platon : le cube, le tétraèdre et l'octaèdre.

[5ACV09 - Prenez garde au seigneur des robots !]

Il faut aussi parler de Madison Cube Garden, parodie du Madison Square Garden, un lieu récurrent de la série dans lequel se déroule les concerts ou les mathcs de Blernsball. Sans surprise, il a la forme... d'un cube ! Notons au passage qu'il a été dessiné de façon à ce que la base du plafond de verre ait la forme d'un hexagone régulier.

[4ACV04 - Astéroïque]

 

Topologie
L'image scientifique la plus emblématique de la série reste la suivante :

[3ACV12 - Le mal absolu]

Côte à côte, on peut voir de la liqueur de malt Olde Fortran (bière pour robot, en référence au langage de programmation Fortran), de la bière St Pauli Exclusion Principle Girl (référence croisée entre la bière St Pauli Girl et le principe d'exclusion de Pauli, en physique quantique) et surtout, de la bière de Klein, vendue dans des bouteilles de Klein (une surface mathématique ayant la particularité topologique de n'avoir ni intérieur, ni extérieur).

Dans la rubrique topologie, on peut aussi parler de l'épreuve de tordage des jeux olympiques, où un robot tord une poutre intordable en forme de nœud de trèfle (le nœud - au sens mathématique - le plus simple après le nœud trivial)

[4ACV13 - L'homme est une femme formidable]

Grands théorèmes
On ne peut pas y échapper : la conjecture de Goldbach, l'hypothèse de Riemann ou la conjecture P=NP sont en l'an 3000 devenus de vrais théorèmes...

[5ACV05 - Le Monstre au milliard de tentacules]

Une fois au paradis, Farnsworth et Wernstrom parviennent à démontrer la conjecture de Goldbach (qui dit que tout entier pair peut s'écrire sous la forme de la somme de deux nombres premiers). En détails, on peut lire sur le tableau :
GOLDBACH QUODLIBET (écrit en langage alien, signifiant littéralement en latin "n'importe quoi")
n²+m < p₁+p₂ < (n+1)²+2m (une inégalité que l'on peut imaginer faire partie de la démonstration de Goldbach faisant intervenir la conjecture de Legendre (entre deux carrés, on trouve un nombre premier - à ce jour non démontrée) et le postulat de Bertrand (entre un entier et son double, on trouve un nombre premier))
3+5=8 (écrit de manière figurée, un exemple de nombre pair somme de deux premiers)
w'+z'→θ
η'+η'→2(η+ππ)
31, 314159 (les premiers nombres premiers que l'on peut obtenir en concaténant les décimales de pi)
π₂(x) = 2c₂ x/(ln(x))², x→∞
QED ("CQFD")
Nombre premier martien : ♂₂ = 170141183460469231731687303715884105727 (un exemple de nombre premier de Mersenne 2^p-1, où p est également un nombre premier de Mersenne)
ETC

Le problème P=NP ("un problème peut-il toujours être résolu rapidement par un algorithme ?") fait une apparition au détour de deux livres dans le placard à balai des locaux de Planet Express.

Ne prêtez pas attention au fait que la tête de Fry est greffée sur le corps d'Amy, et regardez en bas à gauche. Un livre indique P, l'autre, NP. [2ACV07 - La tête sur l'épaule]

On peut aussi apercevoir l'hypothèse de Riemann (sous une forme démontrée) lors d'un cours sur les coniques :

[6ACV05 - The Duh-Vinci Code]

Futurama parle également du théorème Greenwaldien, disant a²+b²>c² (l'homologue du théorème de Pythagore en géométrie sphérique). Il n'existe pas réellement de théorème Greenwaldien, c'est simplement un clin d’œil des scénaristes à Sarah Greenwald, qui a écrit plusieurs articles sur la science et les maths dans les Simspons et dans Futurama.

L'autre équation du tableau, E=9.87sin(2B)-7.53cos(B)-1.5sin(B), est l'équation du temps, utilisé en astronomie et qui mesure "la différence entre le temps solaire moyen et le temps solaire vrai".

 [5ACV01 - La grande aventure de Bender]

Le théorème de Ken Keeler
Dans le dixième épisode de la saison 6, les scénaristes y sont allés encore plus fort : un théorème mathématique du domaine de la théorie des groupes, un vrai de vrai, a été inventé pour l'occasion, et sert de dénouement à l'intrigue !

Le professeur Farnsworth invente une machine permettant d'échanger deux esprits entre deux corps. Ainsi, l'esprit d'Amy se retrouve dans le corps de Farnsworth, et vice-versa. La premier soucis, c'est que si un échange est fait, il est impossible de revenir en arrière (Farnsworth et Amy ne peuvent plus échanger à nouveau leurs esprits). Le deuxième soucis, c'est que très vite, tous les personnages de la série utilisent la machine, et qu'une dizaine d'esprits sont dispersés dans tout autant de corps... Comment s'en sortir ?

[6ACV10 - The Prisoner of Benda]

La solution est énoncée par les deux mathématiciens-basketteurs de la série, Sweet Clyde et Bubblegum Tate : en ajoutant seulement deux personnes, il est possible de remettre à leur place tous les esprits, quel que soit le nombre d'échanges ayant été faits. Et ils le prouvent :

Oui. Il s'agit bien de la preuve d'un théorème de la théorie des groupes. Entièrement rédigé. Dans une série du câble.[6ACV10 - The Prisoner of Benda]

Le théorème montre que si le corps et l'esprit de k personnes sont mélangés, il suffit de deux autres personnes et de k+3 échanges (au plus) pour que chacun retrouve sa place initiale.

Avec l'aide des deux corps de Clyde et Tate, les 9 esprits mélangés parviennent à retrouver leur corps d'origine, en 13 échanges (dans le contexte de l'épisode, on peut montrer que le problème était résolu en 9 échanges, sans l'intervention de deux autres personnes).

Tout le reste
Il me reste encore plein d'images à mettre... Ca ne vous gêne pas si je les mets là, en désordre ?...

11 est plus grand que 4. Cette vérité mathématique fait partie de l'ensemble de la connaissance humaine, rassemblée par les cerveaux avant de détruire l'Univers [4ACV10 - Fry : Le pourquoi du comment]

Bender lance une agence de rencontre : discrète (qui n'attire pas l'attention) et discrète (non continue) [2ACV07 - La tête sur l'épaule]

∀xI♥x : une façon mathématique de dire qu'elle aime tout ce qui existe [5ACV05 - Le Monstre au milliard de tentacules]

Dans les tréfonds de l'Internet, toutes les perversions ont leur site, notamment, "Girls proving theorems" [2ACV09 - Le mariage de Leela]

De nombreuses célébrités sont caricaturées dans Futurama. Entre autres : Euclide. [6ACV05 - The Duh-Vinci Code]

Le nombre 0101100101 (357, en binaire), écrit en lettre de sang sur le mur, ne fait peur à personne. Le reflet dans le miroir est un peu plus effrayant : 1010011010 signifie 666 en binaire [2ACV18 - La voiture garoute]

Et il semble que la série ne va pas s'arrêter là. L'épisode prévu pour le 4 août prochain, intitulé "Möbius Dick", parle d'une baleine de l'espace à 4 dimensions...

 

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Sources :
Dr. Sarah's Futurama Math: Mathematics in the Year 3000

27 mars 2011

[#] Allez venez ! Milnor

John Milnor, 80 ans. Si vous êtes loin du monde des maths, vous n'avez probablement jamais entendu parler de lui. Si vous êtes dans le métier, vous avez peut-être déjà entendu ce nom, au détour d'une conversation des collègues à la cafèt. Par contre, si vous êtes géomètre (au sens large), vous avez forcément l'un de ses bouquins dans votre bibliothèque préférée... Pour la première moitié de ses travaux en topologie, on lui a décerné en 1962 la médaille Fields ("le prix Nobel des mathématiques"). Mais c'est le 23 mars dernier que Milnor fait à nouveau parler de lui, en recevant le vrai prix Nobel des maths : le prix Abel !

John

C'est donc mercredi dernier que l'académie Norvégienne des Sciences et des lettres a décerné à l'américain John Willard Milnor le prix Abel « … pour ses découvertes novatrices en topologie, géométrie et algèbre». Un prix amplement mérité, puisque Milnor peut être considéré comme le fondateur de la topologie différentielle, l'un des domaines les plus étudiés aujourd'hui.

Une sphère exotique en dimension 7

Sphère exotique, vu à la télé

La réalisation la plus célèbre de Milnor, obtenue un peu par hasard, restera la découverte d'une sphère exotique : homéomorphe à une sphère mais pas difféomorphe. Grâce à elle, il a fait comprendre au monde que quand on mélange la topologie et le calcul différentiel, on trouve quelque chose de nouveau (la topologie différentielle), et pas juste de la topologie où les calculs ont été simplifiés. Homéomorphe ? Difféomorphe ? Quelques explications sont demandées.

On parle ici de topologie : on s'intéresse à ce qu'il se passe quand on déforme sans déchirer des objets mathématiques. Plus particulièrement, que se passe-t-il quand on déforme des sphères ?

Prenons par exemple une sphère de dimension 2 (aussi appelée "cercle"). On le prend, on l'étire, on le tord, on fait des plis, on défait les plis, mais sans le déchirer ni faire fusionner deux points. On obtient alors une courbe fermée. Puisqu'on peut déduire l'un des deux objets à partir de l'autre par une simple déformation, on dit qu'ils sont homéomorphes. Si, en plus, la déformation qui transforme les deux objets est lisse (Au cours de la déformation, on n'a pas formé de plis anguleux ou des trucs comme ça), on dit que les deux objets sont difféomorphes.

Un cercle (sphère de dimension 1) et une courbe de Jordan. Ces deux objets sont homéomorphes (et difféomorphes)

On peut facilement trouver des déformations qui sont des homéomorphismes, mais qui ne sont pas des difféomorphismes (il suffit de faire des plis). Cependant, étant donné deux objets bien lisses, il n'est pas forcément évident de dire que si on peut trouver une déformation transformant l'un en l'autre (un homéomorphisme),  on peut trouver une version lissée de cette déformation (un difféomorphisme)...

Les objets qui intéressent particulièrement les topologues, ce sont les variétés, des objets bien lisses qui, en tout point, ressemblent un peu à un espace euclidien de dimension n (à une droite, à un plan, à un espace tridimensionnel...). Notons au passage que la dimension d'un objet topologique est la dimension de l'espace à qui il ressemble, pas la dimension de l'espace qui l'entoure (un cercle, qu'il soit dans un plan ou dans l'espace, restera de dimension 1).
Les variétés les plus fondamentales, ce sont les sphères. On en a de toutes dimensions : de dimension 0 (deux points), de dimension 1 (un cercle), de dimension 2 (une sphère "ballon"), ou de dimensions plus grandes (même si elles sont plus difficiles à imaginer). La question qui se pose alors, c'est de savoir si un objet qui est homéomorphe à une sphère lui est toujours difféomorphe. Le problème, c'est que dans les petites dimensions, les plus faciles à se représenter, la question est relativement facile, mais non généralisable.

En 1956, John Milnor, alors en train d'étudier les variétés de dimension 7, tombe sur un objet étrange. Ce n'est pas une sphère à proprement parlé, mais elle lui est très similaire. Il pense d'abord à un contre-exemple de la conjecture de Poincaré (un objet partageant les bonnes propriétés avec la sphère est homéomorphe à une sphère - qui sera démontré pour cette dimension six ans plus tard). Après avoir regardé de plus près, il s'aperçoit que l'objet en question est bien homéomorphe à la sphère mais, coup de théâtre, ne lui est pas difféomorphe ! On parle alors de cette sphère comme étant "une sphère exotique". Quand on essaye de passer de la sphère exotique à la sphère classique par déformation, on est obligé de créer des plis impossibles à annuler (de la même façon qu'un pli se forme quand on ne repasse pas très bien son jean).

Comment créer soi-même sa sphère exotique ? Puisque nous ne vivons pas dans un monde à 8 dimensions, ça va être compliqué de le fabriquer réellement... Par contre, c'est un peu plus facile d'un point de vue conceptuel : des exemples de sphères exotiques peuvent être obtenues en tordant une sphère.
Pour ça, regardons plutôt les petites dimensions : quand on remplit une sphère (de dim n), on obtient une boule (de dim n+1), dont le bord est la sphère. Cette sphère, on peut l'obtenir à partir de deux boules de dimension n que l'on recolle le long de leur bord (une sphère de dimension n).

Cette construction se voit bien en petites dimensions. En recollant deux boules de dimension 1 (des segments) le long de leur bord (le bord d'un segment, c'est deux points : une boule de dim 0), on trouve bien une sphère de dimension 1 : un disque.

Pour obtenir un cercle, on peut recoller deux segments (disques de dim 1) selon leur bord (deux points).
Pour obtenir une sphère, on peut recoller deux disques (de dim 2) le long de leur bord (un cercle)

De la même façon, quand on recolle deux disques (une boule de dimension 2) le long du cercle qui leur sert de bord, on trouve notre bonne vieille sphère de dimension 2. On encore, pour obtenir une sphère de dimension 4, il suffit de recoller deux boules pleines le long de leur bord.
Finalement, en recollant deux boules de dimension 7 le long de leur bord (une sphère de dimension 6), on trouve une sphère de dimension 7. Mais ce recollement, il n'y a pas une seule façon de le faire. Quand on ne prend pas le bon, on tombe sur l'une de ces sphères exotiques.

Fort de sa découverte, Milnor s'est attelé à dénombrer les sphères exotiques dans toutes les dimensions. En dimension 7, il en recense alors 28 ! Alors qu'il n'y a qu'un seul type de sphère en dimension 5 ou 6, Milnor en découvre 2 en dimension 8, 8 en dimension 9, 6 en dimension 10, 992 en dimension 11 ou 523264 en dimension 19...

On découvrira plus tard (Donaldson, en 1983) un nouvel exemple d'espace exotique, cette fois-ci en dimension 4, appelé "R⁴ exotique".

Le Hauptvermutung
(J'ai toujours adoré les théorèmes ou les conjectures qui ont su garder leur nom allemand)

Mais Milnor n'est pas connu que pour sa sphère exotique, il a laissé ses traces dans d'autres domaines de la topologie, notamment dans l'histoire de la conjecture que l'on appelle "Hauptvermutung" (conjecture principale, en allemand), qui parle de triangulation d'espace topologique.

Prenons par exemple une variété à deux dimensions (une sphère, pour être original). Cet espace, on peut le trianguler : découper l'espace en petits triangles (en dim 2) / tétraèdres (en dim 3) / simplexe de dimension supérieure (en dim n).

Triangulation d'une sphère (par des triangles) et d'un cube (par des tétraèdres)

Trianguler un espace, ça sert surtout à le découper en petites cellules plus faciles à étudier. Seulement voilà, même s'il semble à peu près évident que toute variété peut être triangulée, on ne sait pas bien (dans les années 50) le démontrer.

Sauf que, notre sphère, on peut la trianguler bien autrement. Déjà, on peut la raffiner, en triangulant les triangles intervenant dans cette triangulation ; on en obtient une nouvelle, qui partage sensiblement les mêmes propriétés que sa mère. On alors, on peut prendre une toute autre triangulation, qui n'a a priori aucun rapport avec la première.

Une autre triangulation de la sphère (oui, c'est un icosaèdre). A-t-elle un raffinement commun avec l'autre ?

La question soulevée par le Hauptvermutung (1908), c'est de savoir si deux triangulations d'un même espace peuvent être toutes les deux raffinées en une même sous-triangulation. Si c'est bien le cas, les deux triangulations partagent les mêmes propriétés, caractéristiques de l'espace en question.

En deux dimensions, le Hauptvermutung est vrai : il existe toujours au moins une triangulation, et deux triangulations ont toujours un raffinement commun, ce qui prête à penser que c'est encore le cas en dimensions plus grandes.

C'est là (1961) que Milnor intervient, en trouvant toute une famille de contre-exemples bien sentis dans toutes les dimensions supérieures à 6. Quelques années plus tard, d'autres contre-exemples seront découverts dans le cas moins général des variétés. Le coup de grâce sera donné en 1982, lorsque Freedman découvrira une variété de dimension 4 qui ne peut même pas être triangulée !

Le théorème de la boule chevelue
Peut-on coiffer une noix de coco sans faire d'épis ? C'est l'objet du théorème de la boule chevelue, pas du tout démontrée par Milnor (mais par Brouwer) en 1912, qui dit que c'est impossible.

Quand on essaye de coiffer continument une sphère, on finit toujours par créer un épi quelque part

Impossible, peut-être, mais pas pour Milnor... il n'y a qu'à changer de dimension ! En fait, Milnor cherche plutôt une généralisation de la question : quelles sont les sphères qui sont parallélisables.

Reprenons la sphère de dimension 2 vue depuis l'espace de dimension 3 : en tout point, on peut dessiner un plan tangent. Ce que l'on aimerait faire, c'est munir chacun de ces plans d'un repère (x,y) (2 vecteurs perpendiculaires) de manière à ce que deux points proches disposent grosso-modo du même repère, ceci afin de munir la sphère entière d'un joli repère. Mais est-ce vraiment possible ? Et dans les autres dimensions (trouver un repère à n vecteurs en tout point de la n-sphère) ? On dira alors que la n-sphère est parallélisable.

D'après le théorème de Brouwer, c'est impossible sur la sphère de dimension 2 (on ne peut pas trouver un seul champs de vecteur potable, alors 2...). Par contre, les sphères de dimension 1, 3 et 7 sont parallélisables (et ce sont les seules) ! Pour sa démonstration, Milnor fait intervenir la généralisation des nombres complexes : les quaternions et les octonions.

La 1-sphère est parallélisable, en prenant des vecteurs perpendiculaires au rayon (c'est l'esprit de la démonstration en dimension 3 et 7)

Milnor profite de ses recherches sur le sujet pour offrir en 1978 une toute nouvelle démonstration du théorème de la boule chevelue qui sort des sentiers habituels.

Plein d'autres choses
Mais Milnor, c'est aussi un théorème sur la courbure des nœuds qu'il démontre à 19 ans. C'est aussi un théorème en théorie des groupes (sur la croissance des groupes)  qui sera amélioré par Gromov (Prix Abel en 2009). C'est aussi une conjecture en K-théorie algébrique qui vaudra à Voevodsky une médaille Fields en 2002. Et c'est aussi un livre de référence en dynamique complexe...

La dynamique complexe est la branche des mathématiques qui étudie ce genre de dessin

Bref, cette année, le prix Abel n'est pas décerné au plus mauvais des mathématiciens vivant...

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Sources :
The work of John Milnor, par W.T. Gowers

20 mars 2011

[#] La randonnée du carré

Au hasard de pérégrinations dans la webosphère mathématique, on tombe parfois sur de jolis problèmes dont l'énoncé pourtant simple amène à des difficultés insoupçonnées. Un problème de ce genre est d'autant plus beau qu'il est parfaitement anecdotique, sans applications pour encore longtemps et toujours au rang de conjecture ! Le genre de théorème suffisamment riche pour avoir un article à son nom sur le blog. Un bon exemple : la conjecture de Toeplitz (aka le théorème de Stromquist ou problème du carré inscrit).

Tous les ingrédients sont là :
- un problème simple à mi-chemin entre géométrie et topologie (autrement dit, avec des dessins)
- une période de 78 ans entre le moment où Otto Toeplitz énonce sa conjecture (1911) et le moment où Walter Stromquist publie une solution intéressante (1989).
- de chouettes variantes

Le problème du carré inscrit
Puisque le problème parle de courbe, il va falloir se munir d'un crayon et d'une feuille de papier. Dessinez-y une courbe qui revient à son point de départ, mais qui ne passe jamais deux fois au même endroit (c'est ce qu'on appelle une courbe de Jordan, qui partage le plan en un intérieur et un extérieur). Maintenant, le jeu est de trouver quatre points de la courbe qui forment un carré. Si tout va bien, vous devriez trouver. Sinon, c'est que vous avez mal cherché, ou que vous êtes tombé sur un contre-exemple (mais je miserais plutôt sur le fait que vous avez mal cherché)

Exemple de courbe de Jordan possédant (au moins) deux carrés inscrits

Soyons précis dans les termes : une courbe de Jordan , c'est donc une courbe fermée sans point double. On dit qu'un polygone est inscrit dans la courbe si ses sommets tombent sur la courbe en question. La conjecture de Toeplitz demande donc :

Une courbe de Jordan admet-elle toujours un carré inscrit ?

On peut s'attendre à plusieurs réponses :

- Toutes ? Oui, sans exception !
- Toutes ?  Non ! Mais la probabilité de trouver un contre-exemple en tirant au hasard dans l'ensemble des courbe est nulle.
- Toutes ? Loin de là ! La probabilité de trouver une courbe admettant un carré inscrit est nulle.
- Toutes ? N'importe quoi ! Aucune, plutôt !

Étant donné qu'il existe au moins un exemple, on peut oublier la dernière réponse, mais dans l'état actuel des choses, on ne sait pas trancher entre les trois réponses possible : on ne sait pas à quel point il existe des contre-exemple... Cela dit, un théorème particulièrement intéressant fait le buzz en 1989 : le théorème de Stromquist, qui répond à la conjecture de Toeplitz en disant :

Oui.

Ou, pour être plus précis, la courbe possède son carré inscrit si elle est suffisamment sympathique (dans le sens où elle ne doit pas avoir de comportement fractal). Le problème, c'est que l'ensemble des courbes sympathique ne représente qu'une infime partie de l'ensemble des courbes. Ce théorème répond quand même un peu au problème de départ, puisque si on dessine vraiment notre courbe sur un bout de papier, elle sera "suffisamment sympathique". Ce théorème répond donc à 99% à la question posée, mais le 1% demande encore beaucoup de travail...

Ou pourrais aussi penser à approcher une courbe quelconque par une suite de courbe sympathique en prenant à chaque fois le carré donné par le théorème de Stromquist, mais on n'est pas sûr d'obtenir un carré de côté non nul après le passage à la limite (et si on autorise ce genre de carré, la question n'a plus trop d'intérêt...)

Bref, ce problème est difficile, et fait appel à des considérations sophistiquées... Mais les variantes du problèmes sont bien plus faciles à résoudre, et demandent des solutions ingénieuses ! Voici donc ce qu'il se passe quand on considère les courbes symétriques, ou quand on cherche des parallélogrammes, des losanges ou des triangles inscrits.

Le problème du carré inscrit - dans une courbe symétrique
Comme le problème est difficile dans sa généralité, autant regarder un cas particulier. Le plus simple, c'est celui où la courbe J possède une symétrie centrale.

5 Carrés inscrits se cachent dans cette courbe de Jordan symétrique. Saurez-vous les débusquer ?

En deux coups de cuillère à pot, on peut trouver ses carrés inscrit. L'idée est de considérer la même figure après une rotation à 90° (R). Les deux courbes se coupent alors en au moins un point, disons P. Dans ce cas, les points P, -P, R(P) et -R(P) sont aussi sur la courbe en question, et forme un carré. CQFD !

(En fait, non, il faut aussi montrer que les deux courbes se croisent bien quelque part. L'idée est de prendre deux points particuliers sur J - le plus proche et le plus éloigné du centre - et de montrer que leur image par R sont respectivement à l'intérieur et à l'extérieur du domaine délimité par J)

Le problème du carré losange inscrit
Changeons. Au lieu de chercher un carré, et si on cherchait plutôt un losange ? Ou un parallélogramme ? Nielson montre en 1995 qu'il existe toujours une infinité de losanges inscrits dans une courbe de Jordan, et il utilise pour cela une technique de preuve révolutionnaire : la preuve par "petits bonhomme qui gravissent une montagne" !

Notre courbe, on peut considérer que c'est un gros rocher posé en équilibre sur un sol horizontal. Quitte à faire basculer un peu le rocher, on peut supposer qu'il possède un seul sommet et qu'un seul point qui touche le sol. On considère donc 4 alpinistes : A, B, C et D. A et B partiront du sommet S du rocher et  descendront en rappel, chacun de son côté du rocher. C et D, quant à eux, partiront de la base M du rocher, et grimperont.

Ceci est une montagne, et les 4 points sont des alpinistes. Un peu d'imagination.

La descente, pour A et B ne se fait pas n'importe comment : ils font en sorte de toujours être à la même hauteur (et donc, [AB] est toujours parallèle au sol). Même si le relief ne se prête pas à une descente constante (par exemple, A devra remonter une fois au niveau du lac), les deux alpinistes peuvent toujours être à la même hauteur, quitte à ce que l'un d'eux rebrousse momentanément chemin.
C et D font la même chose, mais en partant de la base M du rocher, jusqu'à ce que A rencontre D et B rencontre C.

Mais les 4 alpinistes sont encore plus synchronisés que ça : ils font en sorte que la distance entre A et B soit toujours la même que celle entre C et D. Encore une fois, le terrain demandera sûrement à ce que l'un des deux couples fasse marche arrière pour que l'autre puisse progresser.

Grâce à tous ces efforts, les positions des 4 alpinistes forment en permanence un parallélogramme (où la direction horizontale a été arbitrairement choisie). Entre le moment où les alpinistes commencent leur descente/montée et le moment où ils se croisent, il y aura un instant où la distance entre les deux couples sera la même que la distance entre les deux alpinistes d'une même face. A ce moment très précis, ils formeront un losange. Celui que l'on recherche !

Le problème du carré triangle inscrit
Et pourquoi pas chercher un triangle inscrit ? Équilatéral, par exemple. Un théorème de 1980 nous dit qu'il en existe au moins un, et donne même une recette pour le trouver :

- Étape 1 : On considère un cercle à l'intérieur de la courbe J, et on le déplace jusqu'à ce qu'il entre en contacte avec la courbe en un point A. On considère aussi P et Q, deux points de J dont la distance est la plus grande possible
- Étape 2 : A partir de ce point A, on peut construire un triangle équilatéral ABC inscrit dans le cercle. On dilate le cercle jusqu'à ce que l'un des deux points (B ou C) rentre en contact avec la courbe.

- Étape 3 : Disons que c'est le point B qui touche J en premier (si les deux le touche en même temps, on a trouvé le triangle qu'il fallait). C est donc à l'intérieur de J. En maintenant fixé le point B, on déplace A jusqu'en P, tout en gardant le triangle équilatéral. Si tout va bien, C sortira de J, et donc, croisera la courbe (ce qui donne un triangle ABC équilatéral).
- Étape 4 : Sinon, C est toujours à l'intérieur. Pas grave. On garde cette fois fixe le point A, et on déplace B jusqu'en Q. La distance PQ étant supposée maximale, le point C sortira de J, en le croisant, ce qui donne le triangle cherché.

En fait, cette preuve permet de trouver un triangle similaire à n'importe quel triangle donné. Dans la preuve, il faut cependant veiller à ce que AB soit le plus petit côté du triangle, pour être sûr que le troisième point sorte de la courbe à l'étape 4.

Cette version du théorème du triangle inscrit dit qu'il en existe au moins un, mais une version plus forte (démontrée en 1992) indique qu'il y en a une infinité et que, si on les dessine tous, l'intérieur de la courbe sera complètement colorié. On peut même montrer que le théorème reste vrai (moyennant une petite hypothèse) quand on considère la courbe dans l'espace plutôt que dans le plan. Pour ce qui est des dimensions supérieures, la question reste ouverte...

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Sources :
Figures Inscribed in Curves, par Mark J. Nielson : un tour d'horizon encore plus large, avec les définitions et démonstrations un peu plus rigoureuses qui manquent à mon article, et le cas du rectangle inscrit que je n'ai même pas évoqué.

19 décembre 2010

[#] Top 10 des maths culinaires

Dernière ligne droite avant le réveillon, il est maintenant temps de passer aux choses sérieuses et de composer le menu que vous servirez à vos convives pour les festivités. Si vous souhaitez des préparations raffinées comme une terrine de foie gras de canard au Comté et noix grillées, vous vous êtes trompés de blog, parce que quand un matheux passe aux fourneaux, c'est plutôt de la junk food que du Masterchef...

Bref, voici aujourd'hui un top 10 des bonnes idées de plats à préparer pour passer les fêtes sous le signe des mathématiques.
(Et comme j'ai un peu galéré pour trouver 10 items, ils seront tous ex-æquo)

N° 1 decies: Donuts, bretzel et fougasse

Mmmmm ! Donut !

Quand un topologue vous parle de donuts (alias doughnut, la pâtisserie la plus grasse que les États-Unis nous ait offerte), c'est plus souvent pour dire que c'est la même chose qu'une tasse de café que pour disserter sur le meilleur glaçage. Bref, il parle du tore : une surface qui ne ressemble en rien à une sphère. L'un des grands principes en topologie est d'ailleurs d'inventer le maximum de concepts qui permettent de prouver qu'un tore et une sphère ne sont pas le même objet (genre, groupe fondamental, homologie, nombre d'Euler, nombre chromatique...).
Quand il en aura marre du donut, le topologue vous parlera bretzel ou fougasse, suivant sa région de prédilection. Il parlera en fait du tore à n trous, la version un peu plus trouée du classique tore...

Mmmmm ! Tore !

N° 1 novies : Les nombres de McNuggets

A droite, les nombres qui ne sont pas des nombres de McNuggets

A McDo, les Chicken McNuggets (Ou Poulet McCroquettes pour les Canadiens) sont vendus par portions de 6, 9 et 20. Il est donc impossible d'en avoir 3, 4 ou 5. Mais si on achète plusieurs portions, est-ce possible d'en avoir 38, 43 ou 307 ?

C'est possible a une seule condition : que ces nombres soient des nombres de Chicken McNuggets, autrement dit, des nombres qu'on peut écrire sous la forme 6.k₁+9.k₂+20.k₃, où k₁, k₂ et k₃ sont des entiers positifs. En fait, tous les entiers sont des nombres de McNuggets, sauf les 22 du début du paragraphe. On peut même montrer qu'il y a 2 façons d'avoir 38 McNuggets (20+6+6+6 ou 20+9+9), ou qu'il y a 42 façons d'en avoir 307.

Le nombre 43, le plus grand nombre qui ne soit pas de McNuggets, est le nombre de Frobenius de l'ensemble {6,9,20}. Trouver le nombre de Frobenius d'un ensemble de nombres (premiers entre eux) est connu sous le nom de "problème des pièces" (trouver la plus grande somme qui ne peut pas être payée en faisant l'appoint).

Fait intéressant supplémentaire : en fait, les McDo français ne proposent pas de portions de 20, mais proposent par contre des portions de 4. Le plus grand nombre qui ne soit pas de McNuggets est donc... 11 ! (C'est le nombre de Frobenius de l'ensemble {4,6,9})

N° 1 octies : La saucisse de Minkowski

La saucisse

Une fractale ! Variante du flocon de Koch, on l'obtient en transformant (un nombre infini de fois)  les segments en zig-zag à angles droits... Plutôt que d'appeler ça saucisse de Minkowski (du nom du mathématicien russe Hermann Minkowski, qui a donné son nom à une des variantes de la notion de dimension utilisée dès que l'on parle fractales), ou peut appeler ça une "courbe de Koch quadratique de type 2", mais ça sonne moins bien. Fait intéressant supplémentaire : la dimension fractale de la saucisse de Minkowski est de 1.5, ce qui en fait un objet à mi-chemin exact entre la courbe et la surface !

Recette de la saucisse de Minkowski

Selon les sources, on peut aussi parler de la saucisse de Minkowski pour une autre fractale quadratique légèrement différente :

Variante de la saucisse de Minkowski , représenté à l'étape 4 et à l'étape 1
(Cette fractale n'a rien à voir avec l'autre, puisque sa dimension fractale est de 1.37...

N° 1 septies : Les nombres de Poulet et les super-nombres de Poulet

Les premiers nombres de Poulet et super-nombres de Poulet (en bleu)

Savoir si un nombre donné est premier ou pas (un nombre n>1 est premier s'il n'est divisible que par 1 et lui même) est pour un ordinateur quelque chose de fondamental (la cryptographie repose sur ça) et de très difficile. Tout un tas d'algorithmes, chacun ayant ses limites, existent pour répondre à cette question. Un algorithme simple utilise le petit théorème de Fermat : si un nombre p est premier, alors 2^p-2 est divisible par p.

Si on prend un nombre au hasard (disons, 90751), on peut donc essayer de voir si 2⁹⁰⁷⁵¹-2 est divisible par 90751 (ce qui se fait très rapidement et facilement avec les bons algorithmes). Si on trouve que non, alors le nombre en question est de manière certaine non premier. Si on trouve que oui (ce qui est le cas), alors il est probablement premier. "Probablement premier," puisque certains nombres sont des faux positifs : on appelle ces nombres les nombres de Poulet. 90751 en est un exemple, puisque 90751=151×601.

Bref, un nombre n composé est un nombre de Poulet si 2ⁿ-2 est divisible par n.
Mais il y a plus fort : les super-nombres de Poulet (ou, les nombres de super-Poulet) : ce sont les nombres de Poulet dont tous les diviseurs sont aussi des nombres de Poulet (ou des nombres premiers). Par exemple, 90751 est un super-nombre de Poulet, puisque ses trois diviseurs 151, 601 et 90751 sont des nombres de Poulet (bon, c'est pas difficile, puisque 151 et 601 sont des nombres premiers...). Par contre, le nombre de Poulet 561 n'est pas un super-Poulet : parmi ses diviseurs, il y a 33 qui n'est pas Poulet...

Deux questions se posent encore
- Y a t-il des nombres de Poulet pairs ? Oui ! Mais le plus petit d'entre eux est 161038...
- Quel rapport avec le poulet ? En fait, absolument aucun, c'est juste le nom de Paul Poulet, un mathématicien amateur belge du XXe siècle...

N°1 sexies : le tri spaghetti

Une hyperboloïde (à une nappe) en spaghettis

Trier des données... En informatique, on aime bien que les choses soient rangées, et pour ça, il faut commencer par les trier. Mais une base de données, ça ne se trie pas comme ça !

Imaginons, et tant pis pour l'originalité, que vous voulez ranger une liste de n nombres. La façon la plus naïve est de commencer par prendre un de ces nombres et de le poser devant vous. Ensuite, pour chaque autre nombre, vous cherchez où est sa place dans la suite déjà rangée. C'est la méthode du tri par insertion, qui demande un temps proportionnel à n². C'est bien, mais on peut faire mieux. Les algorithmes les plus efficaces prennent un temps proportionnel en moyenne  à n.log(n) (Et on peut montrer qu'il n'y en a pas de meilleurs sans plus d'hypothèses)

En fait, si, il y en a un meilleur, mais il faut abandonner l'informatique, et passer par les spaghettis ! Pour commencer, prenez n spaghettis, taillez les proportionnellement aux nombres à trier (soit n opérations), puis posez les verticalement (soit 1 opération). Le spaghetti le plus grand (qui correspond au nombre le plus grand, donc) dépasse. Retirez-le, rangez-le, puis recommencez. Après n opérations, l'ensemble des spaghettis sera trié par taille, et donc, l'ensemble des nombres sera rangé par ordre croissant ! Le tri prendra donc un temps proportionnel à n (2n+1 opérations, en fait), et peut difficilement faire mieux !

Avec un algorithme naïf, trier 1000 fois plus de données prendra 1 000 000 (de) fois plus de temps. Avec un algorithme performant, ça prendra 6000 fois plus de temps, et avec l'algorithme spaghetti, ça prendra juste 1000 fois plus de temps ! Bref, là où l'ordinateur atteint ses limites, un dispositif mécanique à base de spaghetti peut prendre le relai !

N°1 quinquies : Le jeu Mojette et la transformée Mojette

Une grille de Mojette, force 1 (jouable en ligne sur mojette.net)

Le jeu Mojette est un Sudoku bien de chez nous, puisque ses origines sont, comme la mojette, vendéennes. Le principe est de remplir la grille avec 3 chiffres différents de manière à obtenir par projection verticales ou diagonales les sommes indiquées.

Le jeu Mojette est la variante ludique de la transformée Mojette, qui trouve ses origines dans les scanners X. Les rayons X permettent d'obtenir des images planes de l'intérieur du corps, mais pas d'images 3D. Cependant, à partir de plusieurs images 2D prises sous différents angles, on peut réussir à reconstituer l'intérieur du corps en 3D. Le procédé mathématique derrière cette reconstitution est la projection de Radon, longtemps restée sans application avant son utilisation dans tous les problèmes d'imagerie (astronomie, médecine, sismologie, surveillance vidéo...).

Les travaux de Radon ont inspiré la transformée de Mojette, qui cherche aussi à répondre aux problèmes de reconstitution de données à partir de projections. Outre ses applications dans la résolution du jeu Mojette, cette transformée a des applications en imagerie, mais aussi en cryptographie.

Et le rapport avec le haricot blanc vendéen dans cette histoire ? C'est à cause de Jean-Pierre Guédon, chercheur à Nantes et inventeur de la transformée Mojette. Plus petit, il avait appris à compter, faire des additions et des soustractions avec des mojettes. Comme sa transformée n'utilise que les additions et les soustractions, le nom était tout trouvé...

N° 1 quater : Le théorème de la pizza

Bleu récupère l'olive au centre de la pizza
Cas N=3 (et plus généralement, N=7, 11, 15, 19, ...) : Bleu a plus de pizza que Rose
Cas N=5 (et plus généralement, N=9, 13, 17, 21 , ...) : Bleu a moins de pizza que Rose

Les pizzaiolos ont une sale manie : les pizzas sont toujours prédécoupées, mais les traits de coupe ne passent jamais par le centre de la pizza ! Comment faire pour la partager équitablement dans ces conditions ? C'est la réponse donnée par le théorème de la pizza, qui n'a son statut de théorème que depuis le début de l'année 2010.

L'énoncé du théorème de la pizza au fromage est le suivant : étant donné une pizza prédécoupée de manière excentrée en 2N parts de même angle (avec N lignes de coupe), on effectue le partage entre Bleu et Rose en alternant les parts pour chacun. On suppose que Bleu récupère la part qui contient le centre de la pizza. Alors :
- Si l'une des lignes de coupe passe par le centre de la pizza, alors Bleu aura autant de pizza que Rose. Dans le cas contraire :
- Si N=0, N=1 ou N=2, Bleu aura plus de pizza que Rose
- Si N≥4 et pair (N=4, 6, 8, 10, ...) alors Bleu aura autant de pizza que Rose
- Si N est impair et peut s'écrire N=4k+3 (N=3, 7, 11, 15, ...), alors Bleu aura plus de pizza que Rose
- Si N≥5, impair et peut s'écrire N=4k+1 (N=5, 9, 13, 17, ...), alors Bleu aura moins de pizza que Rose

Un peu de Pizza ?, avec aussi le théorème de la calzone

N°1 ter : La courbe du blanc-manger

Avant l'invention du terme fractale, les mathématiciens se prenaient la tête sur des fonctions "pathologiques" ou "monstres" : des fonctions qui sont continues partout, mais nulle part dérivables. Parmi ces courbes, on retient surtout les courbes de Bolzano, de Weierstrass et la courbe du Blanc-Manger, obtenue en sommant une infinité de fonctions en dents de scie.

Inventée par Tagaki, on la surnomme "courbe du blanc-manger" ou "courbe du pudding" pour sa ressemblance avec les desserts éponymes.

Les courbes monstres.

N° 1 bis : Le théorème du sandwich au jambon

Attention : au-delà de 2 ingrédients, le théorème du sandwich au jambon n'est plus vrai !

Trois objets de l'espace peuvent toujours être coupés simultanément par un même plan en deux parts de même volume, c'est l'énoncé (en dimension 3) du théorème du sandwich au jambon. D'après ce théorème qui date des années 40, un sandwich composé d'une tranche de jambon, d'une tranche de fromage et de deux tranches de pain beurrées peut donc toujours être partagée d'un coup de couteau de manière à ce que chaque part contienne exactement la même dose de jambon, de fromage et de pain !

Pour passer de la dimension 3 à la dimension n, il suffit de transformer chaque occurrence de "trois" par "n". En dimension 2, le théorème prend le nom de théorème du pancake.

Application du théorème du pancake : la droite partage simultanément l'objet bleu (qui a 2 composantes) et l'objet rouge (qui en a 8) en deux parties de même aire.

Dès qu'il s'agit d'encadrer ou de partager, les sandwich sont souvent à l'honneur dans les théorèmes. On a ainsi le théorème du sandwich (un autre nom du théorème d'encadrement, alias, "théorème des gendarmes"), qui prend en sandwich une suite entre deux autres suites. Il y a également le théorème du sandwich de Fermat, qui dit qu'un entier n'est jamais pris en sandwich entre un carré et un cube (sauf 26, puisque 5²=25<26<27=3³). Et enfin, il y a le théorème du sandwich de Lovász, qui donne une double inégalité sur des propriétés de graphes.

N° 1 : Le chou romanesco

Je ne peux pas terminer cette liste de mets mathématiques sans parler de l'emblème de ce blog, le chou romanesco ! LE légume allégorique des mathématiques au naturel pour sa phyllotaxie et son auto-similarité.

Phyllotaxie, d'abord : ses bourgeons s'organisent suivant des spirales (que l'on peut retrouver sur les pommes de pins, tournesols ou d'autres représentants du genre végétal), tournant dans les deux sens autour du chou. En se concentrant, on peut même les compter, et que trouve t-on ? Des nombres de Fibonacci ! (Et qui dit Fibonacci dit nombre d'or, que l'on retrouve donc dans ce brocoli).

Auto-similarité, ensuite : le chou romanesco est la fractale parmi les fractales ! Que l'on regarde le chou en plan large ou en gros plan, on a toujours devant nous le même chou romanesco. Ce phénomène d'auto-similarité, on le retrouve également... sur les boîtes de vache qui rit ?!

Ah, et n'oubliez pas que pour le repas du réveillon, les huîtres se commandent selon un vocabulaire très précis ! Joyeuses fêtes !

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Sources :
Histoire de changer, la très grande majorité des illustrations qui ne sont ni du domaine publique ni personnelles viennent de Wikipédia (là, là, là, là, là, là, là et là)

28 novembre 2010

[#] Un peu de topologie algébrique pour tout le monde

Comment transformer des considérations du genre "SO(3) n'est pas simplement connexe" de la théorie des groupes fondamentaux de la topologie algébrique en de merveilleux tours de magie pour étonner petits et grands pour les fêtes de fin d'année ? Aujourd'hui, Chouxrom'co vous propose deux énigmes topologiques, qui peuvent très facilement se transformer en tours de magie quand on donne la réponse en y ajoutant un brin de théâtralité.
Par manque de temps, l'article d'aujourd'hui ressemblera beaucoup à deux billets postés chez Math O' Man et Pierre Bernard.

Comment mal accrocher un cadre à son mur ?
Attention, énigme topologique ! (à poser au réveillon pour faire réfléchir belle-maman).
Vous venez d'acquérir une reproduction du Déjeuner sur l'herbe de Claude Monet, et souhaitez l'accrocher au mur de votre salon. Sur ce mur, deux clous sont déjà plantés, et un fil relie les deux coins du tableau. Pour rigoler, vous voulez faire en sorte que lorsque l'un des deux clous (n'importe lequel) est retiré, le tableau tombe. Comment procéder ? Ce problème répond au nom de "porte-manteau de Paolo", du nom de Paolo Bellingeri, mathématicien à l'Université de Caen.

Question subsidiaire : généraliser à 3 clous, à n clous...

Torsion et physique quantique
Attention : énigme topologique ! (à poser à la Saint-Sylvestre pour faire réfléchir tonton Jean)
Pour cette énigme, vous avez besoin d'un petit bout de carton et de quatre élastiques. Réalisez alors le montage suivant :

Au milieu, le bout de carton (ou n'importe quoi d'autre), fixé par quatre élastiques.

Faites faire alors deux tours à votre bout de carton, ce qui doit donner quelque chose comme ça :

Les élastiques paraissent emmêlés, et pourtant, on peut les démêler sans toucher aux supports, ni retourner le carton dans l'autre sens....Comment faire ? Et pourquoi deux tours et pas un seul ?

Comment mal accrocher un cadre à son mur ? Partie II
Attention, solution topologique !

Sans plus attendre, voici en image une solution de ce problème qui vous tient en haleine depuis une bonne minute :

Une solution (a.b.a^-1.b^-1) du problème : le tableau est accroché aux clous (figurés par des gros points bleus), mais lorsque l'on retire l'un d'entre eux, il se casse la gueule.

Mais c'est pas parce qu'on a la solution que l'on comprend ce qui se trame derrière ce dispositif. Pour ça, il va falloir s'intéresser au monde de la topologie algébrique qui dit que "le groupe fondamental de ℝ²-{a,b} est isomorphe au groupe libre à deux générateurs"...

Intéressons-nous plutôt aux faits, et regardons le premier clou A. Il y a deux façons d'enrouler la ficelle : dans le sens des aiguilles d'une montre (on note ça a) ou dans l'autre sens (a^-1). De même avec le clou B : le sens b ou le sens b^-1.

Accrocher le cadre, c'est juste dire dans quel ordre et dans quel sens il faut enrouler la ficelle. Dans la solution, on commence par tourner autour du premier clou dans le sens des aiguilles d'une montre (a), puis autour du deuxième (b), on revient dans l'autre sens autour du premier (a^-1), puis dans le même sens autour du deuxième (b^-1). On note ce chemin a.b.a^-1.b^-1 (noté aussi [a,b]). Le point signifie ici "suivi de".

Deuxième chose à comprendre, c'est que enrouler la ficelle autour du clou dans un sens (a) puis dans l'autre (a^-1), c'est comme ne rien enrouler du tout (l'enroulement nul est noté 1) : a.a^-1=1. On trouve d'autre relations algébriques simples sur les enroulements, comme a.a^-1=a^-1.a=1 et a.1=1.a=a.
Enfin, supprimer un clou, c'est faire comme si on avait jamais rien enroulé autour. Retirer le clou B, c'est transformer en 1 les occurrences b et b^-1 dans le chemin.

Ainsi, quand on retire le clou B du chemin a.b.a^-1.b^-1, on trouve a.1.a^-1.1=a.a^-1=1 : l'enroulement que l'on obtient une fois le clou B retiré est l'enroulement nul, ce qui signifie que le cadre n'est plus retenu.

Et pour généraliser à trois clous ou plus, il suffit de construire les enroulements à l'aide des commutateurs. Par exemple, pour 3 clous, on peut utiliser le chemin [a,[b,c]] = a.b.c.b^-1.c^-1.a^-1.c.b.c^-1.b^-1. Cette construction se généralise facilement à 42 clous, même si le dispositif devient difficile à réaliser dans la réalité.

Je ne préfère pas essayer de dessiner le dispositif avec 4 clous...

Torsion et physique quantique, partie II
Ce problème/tour de magie illustre le fait que dans l'espace (à 3 dimensions ou plus), faire deux tours, c'est comme ne pas faire de tour du tout (alors que faire un seul tour, c'est faire un tour).  L'expérience du carton et des élastiques date de 1981 (décrite par René Deheuvels dans Formes quadratiques et groupes classiques), mais une autre illustration de ce phénomène a été décrite par DavidL dans les commentaires du dernier article :

Posez un objet dans votre main, et faites-lui effectuer un tour à 360° (en le faisant passer sous votre bras) : l'objet en question revient dans sa position initiale, mais pas votre bras. Faites-lui faire à nouveau un tour à 360°, toujours dans le même sens (en faisant passer par-dessus votre épaule. Cette fois ci, votre bras et votre objet reviennent en position initiale.

Ce phénomène, que l'on observe ici à grande échelle, se retrouve à l'échelle des particule sous le nom de spin (si un expert en physique quantique est capable de vulgariser ce qu'il en retourne, qu'il se présente au plus vite).
Pour en revenir au problème initial, la solution est de faire disparaitre les torsions en faisant passer les boucles de part et d'autre du carton. Une animation vaut mieux que trop d'explications :

Animation récupérée sur Jeux et Mathématiques.

Bref : même si faire faire un tour au carton emmêle les fils, faire faire un deuxième tour les démêle, peu importe le sens. Topologiquement parlant, la rotation à 720° est équivalente à la non-rotation : on dit qu'elles sont homotopes.

Oui, mais pourquoi ? On appelle SO(3) l'ensemble des rotations de l'espace (qui sont déterminées par un axe orienté et un angle de [-180°,180°[). On peut se représenter géométriquement cet ensemble en regardant une boule de rayon 180.

A tout point x de cette boule correspond une rotation de l'espace : [Ox) donne l'axe de rotation, et la distance Ox donne l'angle de rotation. Seulement, deux points opposés de la sphère correspondent à la même rotation (un rotation de 180° dans un sens, c'est comme une rotation dans l'autre) : SO(3) correspond à la boule B3 où on a identifié les points antipodaux.

Faire faire un tour de 360° autour de l'axe (PQ), c'est prendre un chemin dans SO(3) qui part de la rotation nulle et qui va à la rotation de 360°, en passant par toutes les rotations intermédiaires. De manière équivalente, c'est partir de la rotation autour de (PQ) de 180° pour arriver à celle de -180°. Sur le dessin, c'est le chemin g qui part de P pour aller à Q en passant par O.

Ce chemin se déforme facilement en le chemin h qui part de P pour aller à Q en restant sur le bord de la boule (On passe de la rotation à son opposée en bougeant l'axe et non l'angle). Homotopiquement, g=h.

A gauche, le chemin g dans SO(3) qui correspond à un tour à 360°
A droite, les chemins h et h' qui correspondent également à des tours à 360°. Le chemin h.h' peut se rétracter sur le point P pour former un chemin nul.

Puisque les points de la sphère sont identifiés aux points opposés, le chemin h est le même que le chemin h' de l'autre côté. Le chemin h.h' peut se déformer jusqu'au point P, et donc, le chemin h.h' est homotopiquement équivalent au chemin nul. Bref : h.h'=1.
Faire faire un tour de 720°, c'est faire le chemin g.g. Par les différentes égalités qu'on a écrit, on en déduit que g.g=h.h'=1. Résumé : faire faire deux tours de 360°, c'est comme ne pas faire de tours du tout !

La dernière chose qu'il faudrait montrer, c'est que le tour de 360° dans l'espace n'est pas équivalent homotopiquement au non-tour. Mais c'est quand même un peu plus compliqué.

 

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Sources :
Le blog de Math o' man
Le blog de Pierre Bernard
Le site Jeux et Mathématiques : spin.
Un topic sur l'expérience du spin, sur Les-mathematiques.net.
Deux autres illustrations du "deux tours = pas de tours", fournies par Byby dans les commentaires de l'article précédent : ici et là.

14 novembre 2010

[#] Quatre couleurs, sinon rien !

Séquence nostalgie : il y a exactement quatre ans (±1 jour), j'écrivais ces quelques lignes :

Quitte à commencer quelque part ce blog, je me suis dit que débuter par la première note serait quelque chose de fort judicieux...

A l'époque, j'étais encore jeune, insouciant et ne connaissait rien de la cohomologie singulière. J'avais quelques idées d'articles à faire, pensant tenir au moins quelques semaines au rythme d'un article par jour. L'idée était au moins de passer en revue ce qui constitue la partie émergée de l'iceberg maths : nombre d'or, suite de Fibonacci, un peu de proba, de topologie, le théorème des quatre couleurs, les fractales...

Quatre ans et 218 articles plus tard, je suis encore là (et tout le monde est corda) ! Le rythme est devenu hebdomadaire, le nombre d'or n'a toujours pas trouvé d'intérêt mathématique, le blog est rempli de notes probabilistes et topologiques, le père des fractales est mort... Mais le théorème des quatre couleurs, quant à lui, n'a toujours pas trouvé son droit de cité.

Quatre ans : quatre couleurs ! Il est temps de se prendre en main, et d'enfin évoquer le plus gros pétard mouillé de l'histoire des mathématiques !

Au moins quatre couleurs...
Voici une carte de l'Amérique du Sud. Avec combien de crayons différents, au minium, peut-on colorier cette carte, de façon à ce que deux pays frontaliers soient de couleurs différentes ? Aidez Julien Courbet à résoudre ce problème !

Et plus généralement, si on a une carte quelconque dessinée sur une feuille où tous les pays sont connexes (pas d'îles, pas d'enclaves), combien de couleurs suffisent pour la colorier ?

La réponse ne surprendra personne, puisqu'elle est donnée dans le titre du paragraphe, de l'article, de son intro et dans le nom du théorème : quatre couleurs suffisent. Toujours. Aussi alambiquée la carte soit-elle. C'est cette propriété des cartes que l'on appelle aujourd'hui "théorème des quatre couleurs".

En procédant par tâtonnements, on finit toujours par trouver une solution qui convient.
Si l'océan est un pays, on peut lui attribuer la couleur verte.

On peut même dire plus : dans certains cas comme celui de l'Amérique du Sud, 4 couleurs sont nécessaires. Il suffit de regarder le Brésil, l'Argentine, la Bolivie et le Paraguay : puisque chacun de ces pays possède une frontière avec les 3 autres, il faudra au moins 4 couleurs différentes.

La découverte de cette propriété des cartes remonte aux années 1850. Le botaniste-mathématicien Francis Guthrie, fraîchement diplômé, demande à son ex-professeur Auguste De Morgan (Vous savez, les lois de De Morgan) comment on pourrait démontrer ce qu'il a découvert en examinant la carte des comptés de l'Angleterre. De Morgan n'en sait rien et demande de l'aide à Hamilton, qui lui répond gentiment qu'il tâcherait d'y penser.

Au plus six couleurs...
Le problème des 4 couleurs, c'est avant tout un problème de la théorie des graphes. On peut faire correspondre à la carte un graphe en plaçant un sommet en chaque pays, et en reliant les pays frontaliers. On obtient un graphe planaire, la question est alors : tout graphe planaire admet-il une 4-coloration ?

Le graphe qui correspond à la carte de l'Amérique du sud, 4-colorié.

Une 4-coloration, c'est la coloration des sommets d'un graphe avec 4 couleurs au plus de telles manières que deux sommets adjacents ne soient jamais de la même couleur.

Montrer que tout graphe planaire est 4-colorable n'est pas évident, mais montrer leur 6-colorabilité est facile, en procédant par récurrence. Si le graphe a moins de 6 sommets, aucune question ne se pose. Si il a plus de 6 sommets, la formule d'Euler implique l'existence d'un sommet de degré au plus 5 (avec au plus 5 voisins). On l'enlève, on applique la récurrence, on le remet, et on le colorie avec une couleur qui n'est pas dans son voisinage.

Au plus cinq couleurs...
25 ans plus tard, le problème de Guthrie a fait le tour du monde, et aucune démonstration n'est encore connue. Jusqu'à ce jour de juin 1879 où Alfre Kempe annonce au monde entier avoir démonté la conjecture des quatre couleurs, qui devient théorème. Tous les honneurs lui sont accordés, il est même nommé trésorier de la Royal Society (l'Académie des Sciences anglaise). Mais le bonheur sera de courte durée, puisqu'en 1890, Percy Heawood découvre une erreur dans la démonstration de Kempe, le genre d'erreur irréparable qui font retourner le problème des quatre couleurs au statut de conjecture. Heawood reprend alors tout le travail de Kempe, et parvient non pas à démontrer le théorème des 4 couleurs, mais le théorème des 5 couleurs. C'est déjà pas mal. La preuve du théorème de Heawood est plus longue que celle du théorème des 6 couleurs, mais elle garde le même esprit, avec l'utilisation de la formule d'Euler.

Bien que fausse, la preuve de Kempe reste tout de même intéressante, et suit l'idée du théorème des 6 couleurs. On choisit un sommet de degré 5. Dans les bons cas, la récurrence permet de conclure, sinon, on s'arrange.

En 1896, Charles-Jean Étienne Gustave Nicolas le Vieux Baron de la Vallée Poussin (mathématicien célèbre pour un théorème en théorie des nombres) découvre lui aussi l'erreur dans le travail de Kempe. Mais bon, il avait 6 ans de retard. Heawood passera le reste de sa vie à essayer de démontrer en vain le théorème des quatre couleurs...

Les travaux qui suivront monteront la validité sur les carte possédant au plus 24 pays, puis 27, 31, et jusqu'à 96 avant 1976.

Au plus quatre couleurs !
Nouveau siècle, nouveaux outils. En 1976, deux américains, Appel et Haken, annoncent avoir résolu le problème. Pour la deuxième et dernière fois, la conjecture deviendra théorème. Mais il y a un hic : pour la première fois dans une démonstration mathématique, ce n'est pas l'homme qui a le plus bossé, mais l'ordinateur... La démonstration tant attendue depuis plus d'un siècle est complètement décevante !

Pour ça, Appel et Haken ont à nouveau repris l'idée de démonstration de Kempe, mais en changeant un point important : au lieu de faire la récurrence en enlevant un seul sommet, ils ont procédé en enlevant plusieurs sommets, des "configurations". Ces configurations sont des plus petits graphes que l'on retrouve dans n'importe quel graphe planaire assez grand, et il n'y a qu'un nombre fini de configurations possibles : 1476... Recenser tous les cas possibles est un travail, vous vous en doutez, particulièrement rébarbatif. Et pourtant, ils l'ont fait à la main !

Par récurrence, on peut 4-colorier le graphe sans la configuration. Il ne reste plus qu'à montrer que le 4-coloriage peut toujours s'étendre à la configuration. Pour ça, il faut, pour chaque 4-coloriage de chaque combinaison, montrer que le prolongement est possible. Pour chaque configuration, il y a plusieurs milliers de coloriages à considérer, un par un. Même avec beaucoup de volonté, ce travail est hors de porté pour Appel et Haken, qui ont utilisé l'outil informatique pour le faire à leur place.

Plus tard, une autre équipe de mathématiciens parvient à réduire à 633 le nombre de configurations à considérer,  mais l'ordinateur reste indispensable pour arriver au bout de la preuve.

Bref, l'ordinateur a torché un problème qui s'annonçait au départ très subtil : si on bloquait pour passer de 5 à 4 couleurs, c'est que les graphes planaires devaient avoir une subtilité jusqu'alors inconnue. Et quand un problème est subtil, la quête de la démonstration entraîne l'apparition de concepts novateurs. On peut penser au grand théorème de Fermat, dont la démonstration n'est qu'anecdotique comparé a ce qui en a germé.
Finalement, le problème des quatre couleurs était un problème dur, et sa démonstration bourrine n'utilise pas de concepts plus compliqués que ceux utilisés pour la démonstration du théorème des 5 couleurs.

Deuxième problème : une démonstration assistée par ordinateur est-elle quelque chose de légitime ? Le problème de la validité du théorème est renvoyé à celui de la validité du programme qui l'a engendré. Depuis 76, d'autres théorème ont été démontré avec l'outil informatique, notamment la conjecture de Kepler sur l'empilement des oranges.

En 2004, Georges Gonthier fera la une des revues scientifiques en annonçant une bonne fois pour toute que, oui, le théorème des 4 couleurs EST un théorème. Pour cela, il a soumis la preuve du théorème au logiciel Coq, qui l'a validé. Coq est un de ces logiciels qui peut vérifier pas à pas la validité d'une démonstration rédigé dans un langage qu'il peut comprendre. Coq a d'ailleurs vérifié que son propre code source n'est pas bugué !

Le vieux débat "pour ou contre les démonstrations par ordinateur" est toujours quelque chose de polémique. Cela dit, au point où on en est aujourd'hui, un logiciel d'assistant de preuve sera toujours au moins aussi sûr qu'une relecture même attentive d'une longue démonstration d'une centaine de pages...

Au plus partie entière de sept plus racine carrée de quarante-neuf moins vingt-quatre chi sur deux couleurs...
Revenons à Heawood. Il n'a peut être pas réussi à montrer le théorème pour des cartes dessinées sur le plan ou sur une sphère, mais il a quand même réussi à formuler une conjecture un plus fine qui dit ceci (aujourd'hui démontrée)  :

Si une carte est dessiné sur une surface bornée dont la caractéristique d'Euler est χ, alors on peut la colorier en utilisant au plus

couleurs. ⎣x⎦ représente la partie entière de x. La caractéristique d'Euler χ d'une surface, c'est le nombre que l'on trouve avec la formule S-A+F lorsque l'on y dessine un graphe. Par exemple, la caractéristique d'Euler du plan ou de la sphère, c'est χ=2. Pour un tore, un ruban de Möbius ou une bouteille de Klein, on trouve χ=0 (et donc, N=7). Pour un tore à g trous, on a χ=2-2g. Ce théorème donne un nombre suffisant de couleurs : on pourrait démontrer que dans le cas du ruban de Möbius ou de la bouteille de Klein, 6 couleurs suffisent.

Autrement dit : une carte dessinée sur un tore (un Donut's) peut toujours être coloriée en utilisant au plus 7 couleurs. La preuve en image : sur ce patron de tore, chaque pays touche les 6 autres pays, 7 couleurs sont donc nécessaires.

Pour obtenir un tore, il faut recoller les faces opposées en suivant le sens des flèches, ce qui donne cela.

Bref, le théorème des 4 couleurs continue de garder ses secrets. Une démonstration de quelques pages doit sûrement exister, quelque part dans les décimales de pi...

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Sources :
The four colour theorem, par J J O'Connor and E F Robertson
La vérité et la machine, Par Benjamen Werner sur interstice

19 septembre 2010

[#] Fermeture ou complémentaire ?

Ce week-end, c'était les journées du patrimoine ! Et c'est bien à cause de ça que je manque de temps pour fournir un article détaillant de manière consciencieuse chaque étape de la démonstration du grand théorème de Fermat... A la place, voici plutôt un court article (écrit vite fait) sur un chouette théorème de topologie élémentaire (le genre de théorème qui n'est chouette que pour ceux qui trouvent une certaine magie à la topologie...) : le théorème fermeture/complémentaire de Kuratowski !

Dans la théorie (naïve) des ensembles, on dispose de tout un tas d'opérateurs pour s'amuser avec les ensembles : l'union, l'intersection, les complémentaires... Quand on y ajoute de la topologie, on peut parler des intervalles de ℝ (les trucs de la forme [a,b], [a,b[, au programme de la seconde la dernière fois où j'ai ouvert le programme), des ouverts, des fermés, d'adhérence, d'intérieur. Dans tous ces opérateurs, il y en a deux de particulièrement intéressants pour l'histoire qui arrive :
- Le complémentaire d'un ensemble A⊂ℝ, noté A^C (qui représente l'ensemble ℝ privé de A)
- L'adhérence (ou la fermeture) d'un ensemble A⊂ℝ, noté A^- (le plus petit fermé contenant A. Autrement dit, l'ensemble que l'on obtient en bouchant les trous de A. Par exemple, l'adhérence de [0,1[∪]1,2[, c'est [0,2]).

On remarque au passage que pour n'importe quel ensemble A, on a A^C,C=A, et A^-,-=A^-. Par contre, on peut effectuer alternativement les opérations de complémentaires et de fermeture. Essayons par exemple sur l'ensemble [0,1[ :

(En image)

Quand on prend la fermeture de ce dernier ensemble, on retombe sur ]-∞,0]∪[1,+∞[, que l'on a déjà vu.. Si on avait pris la fermeture plutôt que le complémentaire à la première étape, on aurait pas eu de nouvel ensemble. En prenant alternativement complémentaire et fermeture d'un ensemble, on peut donc trouver au moins 6 ensembles différents... Qui dit mieux ? C'est l'objet du théorème fermeture/complémentaire de Kuratowski : au maximum, on peut obtenir de cette façons n ensembles. Mais combien vaut n ? 6 ? 23 ? 42 ?

Avant de donner la solution, je vous laisse chercher un exemple donnant plus de 6 ensembles différents...

Kazimierz Kuratowski est un mathématicien Polonais du début du XXe siècle. Mis à part ce théorème de topologie, Kuratowski a de nombreux faits d'armes, puisqu'on lui doit une démonstration du lemme de Zorn(-Kuratowski), d'un théorème caractérisant les graphes planaires (le célèbre problème des maisons à relier en eau, gaz et électricité), et de plusieurs définitions importantes en théorie des ensembles et en topologie. C'est en son honneur, et en celui de Alfred Tarski et Wacław Sierpiński, que Bourbaki a donné aux espaces métrisables à base dénombrable le nom de "espace polonais".

Le théorème fermeture/complémentaire de Kuratowski, quant à lui, a été démontré en 1922. Il dit la chose suivante :
En appliquant successivement les opérations de complémentaires et de fermeture sur un sous-ensemble de ℝ, on peut obtenir au maximum 14 ensembles différents ! La preuve est donnée par l'exemple suivant :

(En image)

L'ensemble ]0,1[∪]1,2[∪{3}∪([4,5]⋂ℚ) est un "14-ensemble". On prenant alternativement complémentaire et fermeture, on peut trouver 14 ensembles différents !

En fait, la clé de la démonstration du théorème vient (juste) du fait que pour n'importe quel ensemble A⊂ℝ, (ou n'importe quel espace topologique) on a A^{-,c,-,c,-,c,-}=A^-,c,-. A partir de là, on a théoriquement 14 ensembles différents :

A, A^c, A^c,-, A^c,-,c, A^c,-,c,-, A^c,-,c,-,c, A^c,-,c,-,c,-, A^{c,-,c,-,c,-,c}, A^-, A^-,c, A^-,c,-, A^-,c,-,c, A^-,c,-,c,-, A^-,c,-,c,-,c

Le fait que l'on puisse trouver un ensemble A tel que tous les ensembles ci-dessus soient différents termine la démonstration... (Et au passage, la démonstration montre que le théorème est vrai pour n'importe sous-ensemble A d'un espace topologique.)

Quand la solution d'un problème de topologie élémentaire est aussi triviale que "14", on peut en toute objectivité dire que ce théorème est beau !
La semaine prochaine, peut-être un vrai article !

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Sources :
The Kuratowski closure-complement theorem, B. J. Gardner et M. Jackson (Pas Mickaël, Marcel...)
Variations on Kuratowski's 14-set theorem, D. Sherman, qui élargit la question aux autres opérateurs classiques de théorie des ensembles et de topologie élémentaire. 

04 avril 2010

[#] Quelle est la forme de l'Univers ?

Comment ça va ? Pourquoi le logo de France Télécom n'a pas d'accent ? Où est passé mon boitier à lunettes ? Jésus est-il ressuscité ? À quelle heure est-ce que tu rentres ? Qu'a fait votre gouvernement pendant 5 ans ? Pourquoi le poulet a traversé la route ? Quelle est la réponse à la grande question sur la vie, l'Univers et le reste ?...
Il y a des questions rhétoriques, d'autres qui demandent de vraies réponses réfléchies, il y a celles que l'on pose par flemme de chercher soi même la réponse... Et puis, il y a les questions fondamentales.
Pour continuer avec l'article topologique de la semaine dernière, j'ai envie d'apporter quelques éléments de réponses à cette question fondamentale : quelle est la forme de l'Univers ?

Quelle est la forme de la Terre ?
On peut déjà s'attarder sur la question de la forme de la (surface de la) Terre. La réponse qui nous intéresse aujourd'hui est la réponse topologique : est-ce plutôt un plan (avec ou sans bords), ou une plutôt une sphère, un tore ?

Avant le -IVe siècle, on penchait plutôt pour une Terre plate ou légèrement bombée. Un indice nous poussait à le croire : la surface de la Terre est une variété de dimension 2. Prenez un point de la terre et dessinez-y autour un cercle de 50 cm : si vous obtenez quelque chose qui ressemble à un disque, c'est que vous êtes sur une variété de dimension 2.

La topologie n'étant pas aussi développée qu'aujourd'hui, il a fallu attendre Aristote pour comprendre que toutes les variétés de dimension 2 ne sont pas homéomorphes au plan Euclidien (sans anachronisme...). Ce dernier a conjecturé, à raison, que la Terre était plutôt sphérique (en observant qu'un bateau qui s'éloigne à l'horizon ne devient pas de plus en plus petit, mais passe en fait en dessous de la ligne d'horizon)

Mais Aristote a écarté des hypothèse qui étaient alors encore vraisemblable : la Terre était peut-être un tore, un ruban, un ruban de Möbius, une bouteille de Klein ou des surfaces encore plus compliquées (puisqu'il existe un nombre infini de variétés de dimension 2 différentes).

Quelques variétés de dimension 2 : un plan, une sphère, un tore, un ruban de Möbius, un ruban, une bouteille de Klein et une surface encore plus compliquée (en l'occurrence, un double tore)

Finalement, puisque la Terre n'a pas de bord, c'est que ce n'est pas un ruban. C'est encore moins un ruban de Möbius, puisque le bateau de Magellan n'est pas revenu au Portugal à la maison en étant de l'autre côté de la lithosphère. L'hypothèse de la bouteille de Klein est difficilement concevable, puisque la Terre est plongée dans l'Univers (de dimension 3) sans auto-intersection. Reste deux hypothèses probables : la sphère ou le tore... On a très vite compris que la Terre était de genre 1, et qu'elle est donc une sphère...

Pour représenter les plus simples de ces variétés et les visualiser plus facilement, les topologues ont inventé une représentation par plan de montage. On part d'un domaine fondamental (typiquement, un carré), et on indique comment recoller deux à deux les côtés pour retrouver la variété recherchée. Pour l'exemple du tore, il faut recoller deux à deux les côtés opposés du carré fondamental en respectant leur sens : on commence par recoller ensemble deux côtés opposés pour obtenir un cylindre, et on colle les deux cercles opposés pour aboutir à un tore. Voici quelques plans de montages.

Différents plans de montages. Le cas de la sphère est à part, puisqu'il consiste à rétracter l'ensemble des points du bord en un seul. Le cas de la bouteille de Klein et du plan projectif donne des objets impossibles à monter dans un espace à 3 dimensions.

Ces représentations sous forme de carrés permettent de facilement géométriser ces surfaces : ça sera la bonne vieille géométrie euclidienne à Papa, où la somme des angles d'un triangle donne toujours 180°.

Quelle est la forme de l'Univers ?
Déterminer la forme de la Terre est finalement quelque chose de facile : il suffit de prendre une fusée et de la regarder de loin pour voir que c'est une sphère. C'est ici facile à faire, puisque la Terre fait partie de l'Univers (on va le supposer à 3 dimensions). Pour observer la surface de l'Univers, il faudrait pouvoir s'en extraire et le regarder depuis une 4eme dimension, ce qui est moins évident. Pour déterminer la forme de l'Univers, on ne dispose plus que d'une seul arme : l'observation.

Prenez un point de l'Univers, et déterminez l'ensemble des points qui sont situés à moins de 50 cm de ce point : si vous obtenez toujours une boule à 3 dimensions, c'est que l'Univers est une variété topologique à 3 dimensions (sans bords).

Reste plus qu'à choisir la bonne parmi l'infinité de variétés de dimensions 3 existantes. Il en existe une infinité... Mais les physiciens ont fait quelques observations qui vont permettre de limiter les possibilités. Selon l'uniformité du fond de rayonnement cosmologique (Je recopie telle quelle ma source, je n'ai aucune idée de la signification profonde de ces termes), la courbure de l'Univers ne varie pas, et le cosmos a une géométrie sphérique, hyperbolique ou euclidienne. À l'échelle de la Terre, Gauss a émis l'hypothèse que l'Univers est euclidien, en observant que la somme des angles d'un triangle formé par trois sommets de montagne donnait bien 180°.

On peut alors supposer que l'Univers est bien euclidien, ce qui simplifie bien les choses : il n'existe en effet que 18 variétés euclidiennes ! On peut même se restreindre à l'une des 10 variétés orientables ; les 8 autres entraineraient trop de conséquences encore jamais observées.
Un univers non orientable offrirait cependant de très bonnes idées aux scénaristes de science-fiction : après un voyage de quelques années autour de l'Univers, commandeur Cruise, soldat de la guilde spatial, revient sur la planète Terre, Celle-ci est totalement méconnaissable : les humains ont le cœur à droite, les horloge tournent dans le sens direct et les Anglais roulent à droite...

Espaces cubiques...

Pour visualiser les variétés tridimensionnelles, on peut utiliser le même artifice que pour les variétés bidimensionnelles, en prenant cette fois-ci un cube comme domaine fondamental. Suivant les cas, un parallélépipède quelconque peut faire l'affaire.
Le cas le plus simple (parmi ceux qui sont pas simples) à appréhender de cette façon est celui du tore tridimensionnel : quand on passe par l'un des côté du cube, on se retrouve de l'autre côté (sans changement de sens)

Cube (ou parallélépipède) fondamental du tore tridimensionnel. (1/10)
Quand la sphère ou le tore disparaissent dans un des côté, ils réapparaissent de l'autre.

Quand on se tient debout dans un tel Univers, on peut voir devant soi-même son propre dos (une infinité de fois, comme quand on place deux miroirs face à face), et on voit ses pieds en levant la tête !

Notons au passage qu'un Univers de cette forme a un volume fini, et l'expansion de l'Univers peut se traduire facilement par une expansion du cube.

Mais on peut compliquer un peu plus, pour obtenir l'espace cubique demi-tour. On garde la même configuration pour quatre des six faces, mais les deux dernières seront recollées après une rotation de 180°. Ainsi, quand on se tient debout dans cet espace, on se voit de dos et la tête en bas....

Cube (ou parallélépipède) fondamental de l'espace cubique demi-tour (2/10)

À mi-chemin entre ces deux exemples, on trouve l'espace cubique quart de tour, où, cette fois-ci, la dernière face sera recollée avec seulement un quart de tour. Cette dernière face dans le parallélépipède fondamental doit être carrée.
Debout dans un tel espace, on se verrait juste devant à 90°, un peu plus loin à l'envers, encore un peu plus loin à 90° (dans l'autre sens)...

Cube fondamental de l'espace cubique quart de tour (3/10)

Espaces prismatiques...
Et si, au lieu de partir d'un cube, on part d'un prisme hexagonal ?  Cela donne deux espaces nouveaux, appelés espaces prismatiques hexagonaux tiers de tour et sixième de tour.

Prismes fondamentaux des l'espaces prismatiques hexagonaux un tiers de tour (4/10) et un sixième de tour (5/10)

Suivant la direction où l'on regarde, on pourrait se voir simplement de dos, ou bien, de dos avec une rotation de 120° ou 60°...

Espace cubique double...
Le dernier des espaces de volume fini est l'espace de Hantze-Wendt. On ne part pas cette fois-ci d'un cube, mais de deux posés l'un à côté de l'autre. On fera correspondre simplement les faces de droite et de gauche (en vert). La face du fond à droite est identifiée à celle du fond à gauche après une réflexion d'axe horizontal (en jaune). La face du haut à gauche est collée à celle du bas à droite après une rotation de 180° (en rouge). On fait la même chose pour les faces en bleu.

Cubes fondamentaux de l'espace cubique double (6/10)

Ces 6 espaces sont les seuls espaces euclidiens sans bords orientables et de volume fini. Si vous pensez que l'Univers n'est pas infini (après tout, la Terre n'est pas un plan infini, pourquoi l'Univers lui aussi serait infini ?), il faut choisir parmi ces différentes topologies.

Et les 4 autres ?...
Les autres espaces euclidiens orientables sont de volume infini. Il y a bien évidemment l'espace ℝ³ (7/10), que l'on connaît parfaitement bien, puisque c'est celui dans lequel on a l'habitude de faire de la géométrie dans l'espace. Celui-ci est infini dans toutes les directions.

Mais il reste 3 espaces encore plus particuliers : les espace infinis dans seulement une ou deux directions. Les espaces infinis dans une seule direction sont les espaces de type "cheminée", et ressemblent à peu près à cela :

Domaines fondamentaux des espaces de type cheminée, direct (8/10) et indirect (9/10)

Pour obtenir ces espaces, on part d'une cheminée (un parallélépipède dont l'une des directions est infinie). Il reste alors deux paires de faces, qui sont des rectangles de largeur infinie. On peut recoller 2 à deux ces rectangles directement, ou bien faire d'abord agir une rotation d'angle 180°. On pourrait aussi sans problème faire faire agir des translations.

Il reste enfin un dernier espace : l'espace plaque (10/10). Le domaine fondamental que l'on prend est un domaine délimité par deux plans infinis parallèles. On recolle ensuite le premier plan sur le deuxième, en faisant comme bon nous semble une rotation ou une translation. L'espace que l'on obtient possède alors deux directions infinies, et une direction finie.


Le flambeau est désormais dans les mains des physiciens : c'est à eux de déterminer quelle est, parmi ces 10 formes possibles, celle de l'Univers. Si l'Univers est bel et bien euclidien (ou hyperbolique) et de volume fini, il existe loin dans l'espace un nombre infini de copie de notre galaxie : sa topologie n'est de toutes façon pas triviale. Si le domaine fondamental n'est pas trop grand (moins de 14 milliards d'années-lumière de rayon), il semble possible de découvrir sur notre voûte céleste une image de notre propre Voie lactée... Si le domaine fondamental est plus grand, ça va être un peu plus coton pour nous de le découvrir un jour...

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Ca va bien, et toi ? - Pour acquérir une dimension internationale... De toute façon, ça s'appelle orange, maintenant - J'ai dû l'oublier dans la voiture, probablement - Ben oui, sinon, pourquoi mangerait-on du chocolat ? - J'arriverai un peu avant 20h - Je ne vous permets pas, monsieur Zemmour... - Pour aller de l'autre côté -  42.

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Sources :
Dix autres mondes sont possibles, C. Adams, J. Shapiro - Pour la science n°308, juin 2003 (D'où provient l'illustration des prismes fondamentaux.)