Le 14 octobre dernier, le mathématicien franco-américain Benoît Mandelbrot a décidé de suivre la voie de Martin Gardner et de Denis Guedj, en faisant partie de cette grande lignée de mathématiciens à disparaître en 2010. Bien que la nouvelle ait été éclipsée par le décès simultané d'un gars qui a joué dans Manimal, toute la communauté mathématique pleure l'homme qui a génialement inventé les fractales (et révolutionné la vision mathématique que l'on a du monde). Petit article en forme d'hommage.

Benoit_tranquilou

1924 : naissance
Biographie express : Benoît naît le 20 novembre 1924 à Varsovie, mais sa famille préfère rapidement déménager pour Paris, suite aux événements... Dans la suite de sa vie, il déménagera aux Etats-Unis (1958), sera décoré de la légion d'honneur (1990) et en sera promu officier (2006).

1953 : la loi de Zipf-Mandelbrot
Avant de se faire connaître par les fractales, Mandelbrot a commencé à se faire la main avec la loi de probabilité qui porte son nom, et qui modélise la fréquence d'apparition de mots dans une langue donnée.
Prenons un texte au hasard de 25000 mots, et regardons leur fréquence: le mot le plus fréquent apparaît 1057 fois, le deuxième plus fréquent apparaît 585 fois, le troisième 577 fois, le dixième 330 fois, le centième 33 fois, le millième 3 fois...

courbe
Nombre d'occurrence des mots d'un texte pris presque au hasard sur internet en fonction de leur rang, sur une échelle logarithmique.
On voit plus ou moins apparaître une droite : la loi de Zipf

Ce qui est frappant, surtout quand on regarde le nombre d'occurrence du dixième, centième et millième mot le plus fréquent, c'est que leur fréquence f(N) (où N est le rang du mot) obéit à une relation qui ressemble à ceci :

loi_de_Zipf
Le nombre C correspond au nombre d'occurrence du mot le plus fréquent, et α≈1

Autrement dit, quand on classe les mots d'un texte par fréquence décroissante, celle du k-ième mot est approximativement proportionnel à 1/k. Cette loi empirique est attribuée au sociologue G. Zipf, d'où son nom de loi de Zipf. Selon la légende, il aurait testé le texte Ulysse de James Joyce, et découvert que le mot le plus fréquent apparaît 8000 fois, le dixième apparaît 800 fois, le centième 80 fois... Cette loi est aussi adaptée à la modélisation de la distribution du nombre d'habitants dans les villes.

Le premier fait d'arme de Mandelbrot, c'est de s'être intéressé à cette loi pour lui donner une justification, qu'il déduit de considérations de la théorie de l'information. Il généralise au passage la loi de Zipf pour inventer la loi de Zipf-Mandelbrot :

loi_de_Zipf_Mandelbrot
Avec des constantes a,b, C et α≈1

Cette loi modélise de façon un peu plus précise, en tenant compte notamment de la bosse caractéristique et des premières données qui dévient du modèle standard.

1973 : les fractales et l'ensemble de Mandelbrot

Mais Benoît Mandelbrot, c'est avant tout les fractales...
Avant lui, les mathématiques s'intéressent essentiellement à ce qui est bien lisse, comme les triangles, les droites, les cercles, les courbes que l'on trace sans lever le crayon. Quelques courbes bizarres (les courbes "monstres", voir et ) étaient déjà connues, mais on préférait les regarder de loin, comme des cas particuliers inintéressants. Le génie de Mandelbrot, c'est d'avoir remarqué que, en fait, dans la nature, rien n'est jamais vraiment lisse ! Elle est complètement morcelée, irrégulière, fractale ...

L'exemple de base, c'est l'exemple de la côte de Bretagne :

A

Quelle est la longueur de la côte bretonne ? Il n'y a pas de réponse objective : elle sera plus longue pour un randonneur qui fait tous les détours que pour un chalutier qui cherche juste à la contourner. Sa longueur dépend de l'échelle à laquelle on la considère, la faute à sa forme bien trop irrégulière.
Avant Mandelbrot, on ne disposait d'aucun outils mathématiques pour s'attaquer à ce genre de questions (enfin, si, mais personne n'avait pensé à l'utiliser pour ça). Depuis, il y a la dimension de Haussdorf, alias dimension fractale, qui permet de quantifier l'irrégularité des ces formes. Ainsi, si une courbe bien lisse est de dimension 1, une courbe comme la côte bretonne aura une dimension qui pourrait ressembler à 1,424153...

Mandelbrot a tout simplement apporté un nouveau paradigme aux mathématiques, une nouvelle façon de voir le monde... Le genre de choses qui n'arrive qu'une seule fois par siècle !

Viennent ensuite l'invention du terme "fractals", qui n'a pas réellement de sens mathématique, mais qui regroupe les objets  auto-similaires (comme une boîte de vache qui rit) et les objets irréguliers à n'importe quelle échelle. On parle alors du triangle de Sierpiński, de l'éponge de Menger, des courbes de Peano, des fractales de Newton, celle de Lyapounov... et surtout, l'invention made by Mandelbrot de son ensemble, l'objet symbolique de la géométrie fractale :

Mandelbrot
L'ensemble de Mandelbrot

L'ensemble de Mandelbrot, obtenu en 1984 grâce à l'arrivée de l'informatique, est, bien que généré par la formule plutôt simple zn+1 = zn2 + c, considéré comme l'objet mathématique le plus complexe jamais découvert. Certaines de ses propriétés (notamment les propriétés de sa frontière) ne sont aujourd'hui toujours pas bien comprises. Cet ensemble n'a été inventé que dans un seul but : montrer que même une formule très simple peut engendrer des motifs infiniment irréguliers !

Les fractales auront leur lot d'applications : d'un côté, il y a l'art fractal. Rien de mieux qu'elles pour générer facilement un paysage de montagne réaliste. Et il y a aussi les fous furieux, qui utilisent à leur profit toute la théorie pour créer des images plus belles les unes que les autres. Le dernier à avoir fait la une de l'actualité, c'est le Mandelbulb, une sorte de généralisation en 3D du bon vieil ensemble de Mandelbrot :

Mandelbulb
Le Mandelbulb, obtenu à partir de la formule de récurrence zn+1 = zn8 + c, et d'une définition 3D de la multiplication complexe.

Et de l'autre, il y a les applications pratiques.
On peut par exemple parler de l'approche fractale des modèles d'évolution des cours de la bourse (en 2004, Mandelbrot dénonce dans Une approche fractale des marchés le mauvais emploi des outils mathématiques en finance, qui amèneront à la crise que l'on connaît bien).
On peut aussi parler des applications en médecine des fractales, où elle permettraient de distinguer les cellules cancéreuses.
En fait, on peut parler des milliards de domaines où les modélisations font appel aux fractales : biologie, géologie, paléontologie, morphologie, médecine, météorologie, vulcanologie, astronomie, sciences humaines...

2010 : décès
A l'âge de 85 ans, Benoît Mandelbrot décède d'un cancer du pancréas...


Sources :
Wikipédia, comme d'hab'.
La loi de Zipf, pour tester la loi de Zipf sur votre texte préféré
Interview par Le Monde de Benoît Mandelbrot, où il parle entre autres de la crise financière
Galerie d'images du Mandelbulb
Le documentaire Fractales, à la recherche de la dimension cachée, diffusée dernièrement sur Arte, à voir absolument.

Et pour en savoir plus sur les fractales, le tag Fractales de ce blog renvoie sur tout un tas d'articles intéressants avec plein d'images !